Набла операторы

Набла операторы (Һамилтон операторы) — вектор дифференциаль операторы, аның компонентлары координаталар буенча аерым чыгарылмага тигез.

Набла $\mathrm{\nabla }$ символы белән билгеләнә, Юникодта U+2207, ∇.

Өч үлчәмле Евклид фәзасында турыпочмак Декарт координатларында набла операторы болай билгеләнә:

$\mathrm{\nabla }=\frac{\partial }{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial }{\partial y}\overrightarrow{j}+\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{k}$,

биредә $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ — $x,y,z$ күчәрләре буенча берәмлекле векторлар.

Набла операторы ярдәмендә вектор анализының төп гамәлләре тасвирлана: grad (градиент), div (дивергенция), rot (ротор), шулай ук Лаплас операторы.

Физикада һәм математикада киң кулланыла.

n-үлчәмле набла операторы n-үлчәмле фәзада билгеләнә:

$\mathrm{\nabla }=\frac{\partial }{\partial x_1}{\overrightarrow{e}}_1+\frac{\partial }{\partial x_2}{\overrightarrow{e}}_2+...+\frac{\partial }{\partial x_n}{\overrightarrow{e}}_n$,

биредә ${\overrightarrow{e}}_1,{\overrightarrow{e}}_2,...,{\overrightarrow{e}}_n$ — берәмлекле векторлар

Үзлекләр

Градиент

Набла операторы $\mathrm{\nabla }$ һәм $\varphi$ функциясе скаляр тапкырчыгышы градиентка тигез (вектор):

$\mathrm{\nabla }\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial \varphi }{\partial y}\overrightarrow{j}+\frac{\partial \varphi }{\partial z}\overrightarrow{k}=\mathrm{grad}\varphi$,

Дивергенция

Набла операторы $\mathrm{\nabla }$ һәм $\overrightarrow{a}$ векторы скаляр тапкырчыгышы дивергенциягә тигез (скаляр):

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{a}={\mathrm{\nabla }}_x{a}_x+{\mathrm{\nabla }}_y{a}_y+{\mathrm{\nabla }}_z{a}_z=\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z}=\mathrm{div}\overrightarrow{a}$,

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{a}$ шулай ук $(\mathrm{\nabla },\overrightarrow{a})$ дип языла

Ротор

Набла операторы $\mathrm{\nabla }$ һәм $\overrightarrow{a}$ векторы вектор тапкырчыгышы роторга тигез (вектор):

$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{a}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ a_x& a_y& a_z\end{array}\right|=(\frac{\partial a_z}{\partial y}-\frac{\partial a_y}{\partial z})\overrightarrow{i}+(\frac{\partial a_x}{\partial z}-\frac{\partial a_z}{\partial x})\overrightarrow{j}+(\frac{\partial a_y}{\partial x}-\frac{\partial a_x}{\partial y})\overrightarrow{k}=\mathrm{rot}\overrightarrow{a}$

$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{a}$ шулай ук $[\mathrm{\nabla },\overrightarrow{a}]$ дип языла

Лаплас операторы

Набла операторлары $\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }={\mathrm{\nabla }}^2$ скаляр тапкырчыгышы Лаплас операторы (скаляр операторы) дип атала., ул $\mathrm{\Delta }$ дип билгеләнә. Декарт координатларында болай билгеләнә:

$\mathrm{\Delta }=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$.

Үзгәртүләр кагыйдәләре

$\mathrm{grad}(\varphi \psi )=\mathrm{\nabla }(\varphi \psi )=\psi \mathrm{\nabla }\varphi +\varphi \mathrm{\nabla }\psi =\psi \mathrm{grad}\varphi +\varphi \mathrm{grad}\psi$

$\mathrm{div}(\mathrm{grad}\varphi )=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\varphi )=(\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla })\varphi ={\mathrm{\nabla }}^2\varphi =\mathrm{\Delta }\varphi$

Икенче буын операторлар

Скаляр һәм вектор тапкырчыгышлары вариантлары 7 төрле икенче буын операторга китерә:

$\mathrm{div}(\mathrm{grad}f)=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }f)$

$\mathrm{rot}(\mathrm{grad}f)=\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }f)$

$\mathrm{\Delta }f={\mathrm{\nabla }}^{2}f$

$\mathrm{grad}(\mathrm{div}\overrightarrow{v})=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{v})$

$\mathrm{div}(\mathrm{rot}\overrightarrow{v})=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{v})$

$\mathrm{rot}(\mathrm{rot}\overrightarrow{v})=\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{v})$

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}={\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{v}$

Яссы кырлар өчен әлеге операторлар бәйсез түгел:

$\mathrm{rot}(\mathrm{grad}f)=\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }f)=(\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla })f=0$

$\mathrm{div}(\mathrm{rot}\overrightarrow{v})=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{v})=(\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla })\cdot \overrightarrow{v}=0$

$\mathrm{div}(\mathrm{grad}f)=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }f)=(\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla })f={\mathrm{\nabla }}^{2}f=\mathrm{\Delta }f$

$(\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{v}))=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{v})-{\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{v}$

Берсе векторлар тензор тапкырчыгышы ярдәмендә языла:

$\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{v})=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\otimes \overrightarrow{v})$

Үзенчәлекләр

Набла операторы гади вектордан аерылып тора, мәсәлән әлеге оператор векторлар белән коммутатив булмый:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{v}\cdot \mathrm{\nabla }$,

Мисаллар

1. $z=xy,\mathrm{\nabla }z=\frac{\partial z}{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial z}{\partial y}\overrightarrow{j}=y\overrightarrow{i}+x\overrightarrow{j}$
2. $z=30y{x}^3,\mathrm{\nabla }z=\frac{\partial z}{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial z}{\partial y}\overrightarrow{j}=90y{x}^2\overrightarrow{i}+30x^3\overrightarrow{j}$

Әдәбият

• Александрова Н. В. Формирование основных понятий векторного исчисления. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1982. — № 26. — С. 205-234.
• Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
• Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002)
• Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
• Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматлит, 1963, 411 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966.