Евклид фәзасы

3-үлчәмле Евклид фәзасында һәр нокта 3 координата белән билгеләнә

Евклид фәзасы — Евклидча геометриянең аксиомалары белән тасвирлана торган 3-үлчәмле фәза яки гомуми мәгънәдә: уңай тамгалы скаляр тапкырчыгыш билгеләнгән фәза.

Евклид фәзасында тискәре һәм уңай почмаклар: $\phi =\arccos \left(\frac{(x,y)}{|x||y|}\right).$

$n$-үлчәмле Евклид фәзасы ${𝔼}^n,$ дип билгеләнә, шулай ук ${ℝ}^n$ билгесе кулланыла.

Математик билгеләмә

Евклид фәзасы уңай чын скаляр тапкырчыгыш барлыгы белән билгеләнә, шуннан скаляр тапкырчыгышның үзлекләре бөтен фәзага хас:

• Бисызыклылык: һәр векторлар $u,v,w$ һәм һәр чын саннар $a,b$ өчен $(au+bv,w)=a(u,w)+b(v,w)$ һәм $(u,av+bw)=a(u,v)+b(u,w);$
• Симметриялелек: һәр векторлар $u,v$ өчен $(u,v)=(v,u);$
• Уңай тамгалы итеп билгеләнү: һәр $u$ өчен $(u,u)⩾0,$ һәм $(u,u)=0\Rightarrow u=0.$

Евклид фәзасы мисалы — ${ℝ}^n$ координатлар фәзасы түбәндәге билгеләнгән скаляр тапкырчыгыш белән:

$(x,y)=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n.$

Евклид фәзасында $u$ векторы озынлыгы болай табыла: $\sqrt{(u,u)}$ һәм $|u|$ итеп билгеләнә.

Евклид фәзасында $u$ һәм $v$ векторлары арасындагы почмак болай билгеләнә:

$\phi =\arccos \left(\frac{(x,y)}{|x||y|}\right).$

Коши-Буняковский тигезсезлегеннән $\left|\frac{(x,y)}{|x||y|}\right|⩽1.$ чыгарыла, шуңа күрә $\arccos \left(\frac{(x,y)}{|x||y|}\right)$ билгеләнә.

$x$ һәм $y$ элементлары арасындагы ераклык болай билгеләнә:

$d(𝐱,𝐲)=\Vert 𝐱-𝐲\Vert =\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}.$

Мисаллар

Евклид фәзалары мисаллары:

• $1$ үлчәмле ${𝔼}^1$ (чын туры сызык)
• $2$ үлчәмле ${𝔼}^2$ (евклид яссылыгы)
• $3$ үлчәмле ${𝔼}^3$ (3-үлчәмле евклид фәзасы)

Әдәбият

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986. — 304 с.