Скаляр тапкырчыгыш

Скаляр тапкырчыгышны векторлар проекциясе ярдәмендә аңлату

Скаляр тапкырчыгыш — ике вектор өстеннән операция нәтиҗәсендә кординатлар системасына бәйсез һәм векторларның озынлыгы һәм арасындагы почмакны тасвирлаучы сан (скаляр).

Х векторының озынлыгы һәм у векторының х векторына проекциясе тапкырчыгышы әлеге операциягә туры килә.

Гадәттә векторларның скаляр тапкырчыгышы болай билгеләнә:

$⟨𝐚,𝐛⟩$,

$(𝐚,𝐛)$,

$𝐚\cdot 𝐛$,

квант механикасында халәт векторы өчен шулай ук Дирак билгәләмәсе кулланыла:

$⟨a|b⟩$.

Гадәттә скаляр тапкырчыгыш уңай итеп билгеләнгән, ягъни:

$⟨𝐚,𝐚⟩>0$ барлык $a=0$.

Югыйсә ул билгеләнмәгән тапкырчыгыш (тензор тапкырчыгышы) дип атала.

Алгебраик билгеләмә

Ике вектор Калып:Nowrap һәм Калып:Nowrap скаляр тапкырчыгышы n-үлчәмле чын фәзада болай билгеләнә:

$𝐚\cdot 𝐛=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$.

Мәсәлән, өч-үлчәмле фәзада векторлар Калып:Nowrap һәм Калып:Nowrap скаляр тапкырчыгышы болай исәпләнә:

$\begin{array}{cc}[1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]& =1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\ & =4-6+5\\ & =3.\end{array}$

Комплекс векторлар Калып:Nowrap һәм Калып:Nowrap скаляр тапкырчыгышы болай билгеләнә:

$𝐚\cdot 𝐛=\sum _{i=1}^n{a}_i\overline{b_i}=a_1\overline{b_1}+a_2\overline{b_2}+\cdots +a_n\overline{b_n}$.

Мәсәлән, $[1+i,2]\cdot [2+i,i]=(1+i)\cdot (\overline{2+i})+2\cdot \bar{i}=(1+i)\cdot (2-i)+2\cdot (-i)=3-i$

Геометрик билгеләмә

A • B = |A| |B| cos(θ)

Векторлар озынлыгы һәм арасындагы почмак төшенчәләре кертелгән һәм билгеләнгән очракта (классик геометриядә нәкъ шулай була), скаляр тапкырчыгышы векторларның озынлыгы һәм алар арасындагы почмак ярдәмендә билгеләнә:

$⟨𝐚,𝐛⟩=|𝐚|\cdot |𝐛|\cdot \cos \mathrm{\angle }(𝐚,𝐛)$

Заманча аксиоматикада баштарак скаляр тапкырчыгыш билгеләнә, ә аннан вектор озынлыгы һәм почмак чыгарыла.

Үзлекләре

• косинус теоремасы скаляр тапкырчыгыш ярдәмендә җиңел итеп чыгарыла:

  $|BC{|}^2={\overrightarrow{BC}}^2=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}{)}^2=⟨\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}⟩={\overrightarrow{AC}}^2+{\overrightarrow{AB}}^2-2⟨\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}⟩=|AB{|}^2+|AC{|}^2-2|AB||AC|\cos \hat{A}$

• Векторлар арасындагы почмак:

  $\alpha =\arccos \frac{⟨𝐚,𝐛⟩}{\sqrt{⟨𝐚,𝐚⟩⟨𝐛,𝐛⟩}}$

• Векторлар арасындагы почмакны бәяләү:

  $⟨𝐚,𝐛⟩=|𝐚|\cdot |𝐛|\cdot \cos \mathrm{\angle }(𝐚,𝐛)$ формуласында тамга почмакның косинусы белән билгеләнә (векторлар нормалары һаман уңай), шуңа күрә арасындагы почмак кысынкы булса, скаляр тапкырчыгыш > 0, ә әгәр арасындагы почмак җәенке булса, скаляр тапкырчыгыш < 0.

• Векторның проекциясе:

  $a_e=⟨𝐚,𝐞⟩=|𝐚||𝐞|\cos \mathrm{\angle }(𝐚,𝐞)=|𝐚|\cos \mathrm{\angle }(𝐚,𝐞)$, чөнки $|𝐞|=1$

• ортогональлек шарты (перпендикулярлык шарты) $𝐚$ һәм $𝐛$ векторлары өчен:

$𝐚\mathrm{\perp }𝐛\iff ⟨𝐚,𝐛⟩=0$

• Ике вектор $𝐚$ һәм $𝐛$ - нигезендәге параллелограмм мәйданы:

$\sqrt{⟨𝐚,𝐚⟩⟨𝐛,𝐛⟩-⟨𝐚,𝐛{⟩}^2}$

Коши — Буняковский тигезсезлеге

Сызыкча фәзада Һәр $𝐱$ һәм $𝐲$ элементлары өчен түбәндәге тигезсезлек үтәлә:

$|⟨x,y⟩{|}^2\le ⟨x,x⟩⟨y,y⟩$

Заманча билгеләмә

$𝕃$ - вектор фәзасында $ℂ$ - комплекс (яки $ℝ$ чын) саннар кыры өстеннән $⟨x,y⟩$ скаляр тапкырчыгыш болай итеп билгеләнә - һәр пар элемент өчен түбәндәге шартлар үтәлә:

1. $𝕃$ сызыкча фәзасында һәр өч элемент $x_1,x_2$ һәм $y$ һәм теләгән санннар $\alpha ,\beta$ өчен:

$⟨\alpha x_1+\beta x_2,y⟩=\alpha ⟨x_1,y⟩+\beta ⟨x_2,y⟩$ (сызыклылык);

1. һәр $x$ һәм $y$ өчен:

$⟨y,x⟩=\overline{⟨x,y⟩}$, биредә сызык - комплекс иярү дип билгели;

1. һәр $x$ өчен

$⟨x,x⟩\ge 0$, һәм $⟨x,x⟩=0$ тик $x=0$ булган очракта (скаляр тапкырчыгыш уңай).

Әдәбият

• Александрова Н. В. Формирование основных понятий векторного исчисления. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1982. — № 26. — С. 205-234.
• Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
• Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002)
• Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
• Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматлит, 1963, 411 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966.