Градиент (математика)

Градиент операциясе үрне (сулда, өстән карап) векторлар кырына (уңда) әверелдерә: барлык векторлар түбәгә юнәлдерелгән, үр авышлыгы арткан саен вектор озыная бара.

Градиент (лат. gradiens, gradientis - атлаучы, үсүче) — $\phi$ (скаляр кыр) зурлыгының иң зур үсүен күрсәтүче вектор, модуль буенча үсүнең тизлегенә тигез.

1873 елда Җеймс Максвелл тарафыннан кертелгән.

Градиент болай билгеләнә:

$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\phi$

яки набла операторы ярдәмендә:

$\mathrm{\nabla }\phi$

Математик билгеләмә

Өч үлчәмле фәза өчен $\phi =\phi (x,y,z)$ скаляр функциясеннән градиент:

$\frac{\partial \phi }{\partial x},\frac{\partial \phi }{\partial y},\frac{\partial \phi }{\partial z}.$

яки турыпочмак Декарт коордиантларында ${\overrightarrow{e}}_x,{\overrightarrow{e}}_y,{\overrightarrow{e}}_z$ берәмлекле векторлар ярдәмендә:

$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\phi =\mathrm{\nabla }\phi =\frac{\partial \phi }{\partial x}{\overrightarrow{e}}_x+\frac{\partial \phi }{\partial y}{\overrightarrow{e}}_y+\frac{\partial \phi }{\partial z}{\overrightarrow{e}}_z.$

Күп үзгәрмәле $\phi$ функциясеннән градиент $n$ үлчәмле вектор була:

$(\frac{\partial \phi }{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial \phi }{\partial x_n}),$

$f$ Скаляр функциясеннән градиент һәм бик кечкенә үсемтә $d𝐱$ скаляр тапкырчыгышы тулы дифференциалга тигез:

$df=\frac{\partial f}{\partial x_1}d{x}_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}d{x}_2+\frac{\partial f}{\partial x_3}d{x}_3+\dots =\sum _i\frac{\partial f}{\partial x_i}d{x}_i=(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}𝐟\cdot d𝐱).$

Теләгән кайсы коорддинатларда болай языла:

$df=\sum _i({\partial }_{i}f)d{x}^i$

Эйнштейн кагыйдәсен исәпкә алып:

$df=({\partial }_{i}f)d{x}^i$

Интеграль формада болай язылып була:

$\mathrm{\nabla }\phi =\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{V\to 0}\frac{1}{V}\left(\underset{S}{\iint }\phi d𝐬\right)$,

Сферик координатларда:

$\mathrm{grad}U(r,\theta ,\phi )=\frac{\partial U}{\partial r}\overrightarrow{e_r}+\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta }\overrightarrow{e_{\theta }}+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial U}{\partial \phi }\overrightarrow{e_{\phi }}.$

Куллану

Физикада градиент киң кулланыла, аеруча физик кырлар теориясендә.

Мәсәлән электростатик кырның көчәнешлелеге электростатик потенциалдан минус градиентка тигез, гравитацион кырның көчәнешлелеге (ирекле төшү тизләнеше) гравитацион потенциалдан минус градиентка тигез.

Шулай ук градиент төшенчәсе химиядә, биологиядә кулланыла.

Әдәбият

• Александрова Н. В. Формирование основных понятий векторного исчисления. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1982. — № 26. — С. 205-234.
• Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
• Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002)
• Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
• Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматлит, 1963, 411 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966.