Фурье рәвешүзгәртүе

Өстә: функция - сигнал, уңда - аның Фурье рәвеше
Аста: күчерелгән сигнал, уңда - аның Фурье рәвеше

Фурье рәвешүзгәртүе (ℱ билгесе) — чын үзгәрмә зурлыкка бәйле бер функциягә чын үзгәрмәгә бәйле икенче функцияне тиңләштерү операциясе.

Әлеге яңа функция чыгыш функцияне төрле ешлыклы гармоник тирбәнешләргә таркату коэффициентларын (амплитудаларын) тасвирлый. Мәсәлән музыкаль аккорд аңа кергән ноталар амплитудаларында күрсәтелеп була.

Фурье рәвешүзгәртүе интеграль тигезләмәдә бирелә:

$\hat{f}(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-ix\omega }dx.$

шулай ук болай язылып була:

$\hat{f}(\xi )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-2\pi ix\xi }dx,$   теләгән чын сан ξ өчен.

Фурье кире рәвешүзгәртүе:

$f(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\hat{f}(\xi )e^{2\pi i\xi x}d\xi ,$   теләгән чын сан x өчен.

Фурье рәвешүзгәртүе физикада, саннар теориясендә, комбинаторикада, сигнал эшкәртүдә, ихтималлык теориясендә, статистикада, криптографиядә, акустикада, океанологиядә, оптикада, геометриядә, медицинада, санак технологиясендә һәм бүтән өлкәләрдә киң кулланыла.

Фурье рәте

Өзлексез Фурье рәвешүзгәртүе - Фурье рәтенең гомуми нәтиҗәсе булып тора - функцияне гармоник тирбәнешләрнең чиксез суммасы төрендә күрсәтү::

$f(x)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\hat{f}}_n{e}^{inx}.$

Фурье рәте - Фурье рәвешүзгәртүенең аерым очрагы (дискрет) булып тора:

$\hat{f}(\omega )=\sqrt{2\pi }\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\hat{f}}_n\delta (\omega -n).$

Функциянең Фурье рәте һәм аңа туры килүче ешлыклар спектры - Фурье рәвеше (дельта-функцияләр, зәңгәр пиклар)

Үзлекләре

$f(t)$ һәм $g(t)$ функцияләренең $F(\omega )$ һәм $G(\omega )$ Фурье рәвешүзгәртүләре түбәндәгечә бәйләнгән:

	Функция	Фурье рәвешүзгәртүе	Искәрмәләр
1	$af(t)+bg(t)$	$aF(\omega )+bG(\omega )$	Сызыклылык
2	$f(t-a)$	$e^{-i\omega a}F(\omega )$	Кичегү
3	$e^{iat}f(t)$	$F(\omega -a)$	Ешлыклар күчеше
4	$f(at)$	$|a{|}^{-1}F\left(\frac{\omega }{a}\right)$	Әгәр $a$ зур булса, $f(at)$ 0 тирәсендә була һәм $|a{|}^{-1}F\left(\frac{\omega }{a}\right)$ яссы була
5	$\frac{d^{n}f(t)}{d{t}^n}$	$(i\omega {)}^{n}F(\omega )$
6	$t^{n}f(t)$	$i^n\frac{d^{n}F(\omega )}{d{\omega }^n}$
7	$(f*g)(t)$	$\sqrt{2\pi }F(\omega )G(\omega )$	$f*g$ - математик төрү дип билгеләнә
8	$f(t)g(t)$	$\frac{(F*G)(\omega )}{\sqrt{2\pi }}$
9	$\delta (t)$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$	$\delta (t)$ - Дельта-функция
10	$1$	$\sqrt{2\pi }\delta (\omega )$
11	$t^n$	$i^n\sqrt{2\pi }{\delta }^{(n)}(\omega )$
12	$e^{iat}$	$\sqrt{2\pi }\delta (\omega -a)$
13	$\cos (at)$	$\sqrt{2\pi }\frac{\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}$	$\cos (at)=\frac{1}{2}(e^{iat}+e^{-iat})$ Эйлер формуласыннан чыга
14	$\sin (at)$	$\sqrt{2\pi }\frac{\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}$
15	$\exp (-a{t}^2)$	$\frac{1}{\sqrt{2a}}\exp \left(\frac{-{\omega }^2}{4a}\right)$	Гаусс бүленеше үз Фурье рәвешенә тигез
16	$W\sqrt{\frac{2}{\pi }}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(Wt)$	$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\left(\frac{\omega }{2W}\right)$
17	$\frac{1}{t}$	$-i\sqrt{\frac{\pi }{2}}\mathrm{sgn}(\omega )$
18	$\frac{1}{t^n}$	$-i\sqrt{\frac{\pi }{2}}\frac{(-i\omega {)}^{n-1}}{(n-1)!}\mathrm{sgn}(\omega )$
19	$\mathrm{sgn}(t)$	$\sqrt{\frac{2}{\pi }}(i\omega {)}^{-1}$
20	$\sqrt{2\pi }\theta (t)$	$\frac{1}{i\omega }+\pi \delta (\omega )$	$\theta (t)$ — Хевисайд функциясе.

Гомуми очрак

Фурье рәвешүзгәртүе бар гомумиләштерелгән функцияләр өчен кулланылып була, чөнки Фурье рәвешүзгәртүенең үзлекләре түбәндәгечә бирелә:

• $\widehat{(\alpha f+\beta g)}=\alpha \hat{f}+\beta \hat{g}.$

  $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x){|}^{2}dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|\hat{f}(w){|}^{2}dw.$

• $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\hat{f}(w)e^{ix\omega }dw$
• Төрү хакында теорема: әгәр $f,g\in L_1(ℝ)$ булса, шул очракта

$\widehat{(f\ast g)}=\sqrt{2\pi }\hat{f}\hat{g}$,

биредә

$(f\ast g)(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t-s)g(s)ds.$

• $\widehat{(f^{\prime })}=i\omega \hat{f}.$

шуннан:

$\widehat{(f^{(n)})}=(i\omega {)}^n\hat{f}.$

• Күчеш.

$\widehat{f(x-x_0)}=e^{-i\omega x_0}\hat{f}(w).$

• Сузу.

$\widehat{f(ax)}=|a{|}^{-1}\hat{f}(w/a).$

Мәсәлән дельта-функциянең Фурье рәвешүзгәртүен исәплик:

$⟨\hat{\delta },\phi ⟩=⟨\delta ,\hat{\phi }⟩=⟨\delta ,\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\phi (x)e^{-i\omega x}dx⟩=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\phi (x)\cdot 1dx=⟨\frac{1}{\sqrt{2\pi }},\phi ⟩.$

шулай итеп, дельта-функциянең Фурье рәвешүзгәртүе - константа булып чыга: $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$.

Әдәбият

• Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — 188 с.
• Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.
• Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М.: «Мир», 1965. — Т. 1.
• Афонский А. А., Дьяконов В. П. Цифровые анализаторы спектра, сигналов и логики / Под ред. проф. В. П. Дьяконова. — М.: СОЛОН-Пресс, 2009. — С. 248. — ISBN 978-5-913-59049-7.
• Дьяконов В. П. MATLAB 6.5 SP1/7.0 + Simulink 5/6. Обработка сигналов и проектирование фильтров. — М.: СОЛОН-Пресс, 2005. — С. 576. — ISBN 5-980-03206-1.
• Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — 2-е изд. — СПб.: Питер, 2006. — С. 751. — ISBN 5-469-00816-9.
• М. А. Павлейно, В. М. Ромаданов. Спектральные преобразования в MatLab. — СПб., 2007. — С. 160. — ISBN 978-5-983-40121-1