Дельта-функция

Бер үлчәмле дельта-функция.

Дельта-функция яки Дирак дельта функциясе, δ-функция — нокталы тәэсирне күрсәтүче яки бер ноктада тупланган физик зурлыклар (масса, коргы, көч һ.б.) тыгызлыгын тасвирлаучы гомумиләштерелгән функция.

Мәсәлән бер ноктада а тупланган m массасы тыгызлыгы бер үлчәмле Евклид фәзасында болай күрсәтелә: $m\delta (x-a).$

Инглиз физигы Поль Дирак тарафыннан кертелгән.

Тасвир

Бер чын үзгәрмә зурлыктан дельта-функция $\delta (x)$ болай билгеләнә:

• $\delta (x)=\{\begin{array}{cc}+\mathrm{\infty },& x=0,\\ 0,& x\ne 0;\end{array}$
• $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (x)dx=1.$

Әлеге билгеләмәдән бик мөһим үзлеге чыгарыла:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (x-y)f(x)dx=f(y)$

Дельта-функциядән чыгарылма һәркайда 0 гә тигез, тик x=0 ноктасында $\pm \mathrm{\infty }$ тигез.

Үзлекләре

• Нуль белән теләгән интервал буенча дельта-функциядән интеграл 1-гә тигез.
• $x{\delta }^{\prime }(x)=-\delta (x).$
• $\delta (f(x))=\sum _k\frac{\delta (x-x_k)}{|f^{\prime }(x_k)|}$, биредә $x_k$ — $f(x)$. функциясенең нульләре

Хевисайд функциясе.

• дельта-функцидән баштагы функция - Хевисайд функциясе

$\theta (x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0,\\ \frac{1}{2},& x=0,\\ 1,& x>0.\end{array}$

• Фильтр үзлеге:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\delta (x-x_0)dx=f(x_0).$

• Интеграль күренеше:

$\delta (t)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{i\omega t}d\omega .$

Әдәбият

• Дирак П. А. М. Основы квантовой механики / Пер. с англ. — М., 1932 (есть много переизданий).
• Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. — Том 2. — ISBN 5-9221-0185-4.
• Weisstein, Eric W. Delta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных уравнений. — Том 1.
• Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы в частных производных.
• Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщённые функции и действия над ними.
• Краснопевцев Е. А. Математические методы физики. Избранные вопросы.