Баштагы функция

$f(x)=x^2$ өчен баштагы функцияләр күплеге $F(x)=x^3/3+C$

Мәйдан баштагы функцияләр аермасына тигез

Баштагы функция (Калып:Lang-ru, Калып:Lang-en) — функция интегралын табу өчен кулланыла торган функция. $f(x)$ функциясенең баштагы функциясе дип, чыгарылмасы $f$ка тигез булган, $F(x)$ функциясен атыйлар. Ягъни: $F^{\prime }(x)=f(x)$. Баштагы функцияне табу билгесез интеграл табудан гыйбәрәт һәм бу процесс интеграл табу дип атала.

Мисал: $f(x)=x^2$ өчен баштагы функция $F(x)=\frac{x^3}{3}$ була. Константадан чыгарылма нульгә тигез, шуңа күрә гомуми баштагы функция болай күренә: $F(x)=x^3/3+C$ биредә $C$ - теләгән сан. Мондый баштагы функцияләрнең графиклары бер-берсенә карата вертикаль буенча күчкәннәр, һәм бу күчеш $C$ даимиенә генә бәйле.

Ньютон-Лейбниц тигезләмәсе

Ньютон-Лейбниц тигезләмәсе буенча баштагы функцияләр аермасы интегралга тигез:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a).$

Билгесез интеграл

$f(x)$ функциянең баштагы функцияләре күплеге - билгесез интеграл дип йөртелә, анда чикләр язылмый:

$\int f(x)dx$

Һәрбер баштагы функция $F$ өзлексез функциядән $f$ билгесез интеграл ярдәмендә күрсәтелеп була:

$F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt.$

Кайбер өзлекле функцияләр баштагы функциягә ия була:

Мисал өчен: $f(x)=2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}$  :$f(0)=0$ өзлекле $x=0$, ләкин баштагы функ. $F(x)=x^{2}sin\frac{1}{x}$ с $F(0)=0$ бар

Шулай ук элементар функцияләр ярдәмендә күрсәтелеп булмаган баштагы функцияләр бар:

$\int e^{-x^2}dx,\int \frac{\sin (x)}{x}dx,\int \frac{1}{\ln x}dx$.

Кайбер баштагы функцияләр

Дәрәҗәле функцияләр

$\int kdx=kx+C$

$\int x^{a}dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C\text{(for }a\ne -1\text{)}$

$\int (ax+b{)}^{n}dx=\frac{(ax+b{)}^{n+1}}{a(n+1)}+C\text{(for }n\ne -1\text{)}$

$\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$

гомуми очракта,

$\int \frac{1}{x}dx=\{\begin{array}{cc}\ln \left|x\right|+C^{-}& x<0\\ \ln \left|x\right|+C^{+}& x>0\end{array}$

$\int \frac{c}{ax+b}dx=\frac{c}{a}\ln |ax+b|+C$

Экспонент функцияләр

$\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}{e}^{ax}+C$

$\int f^{\prime }(x)e^{f(x)}dx=e^{f(x)}+C$

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$

Логарифмик функцияләр

$\int \ln xdx=x\ln x-x+C$

$\int {\log }_{a}xdx=x{\log }_{a}x-\frac{x}{\ln a}+C$

Тригонометрик функцияләр

$\int \sin xdx=-\cos x+C$

$\int \cos xdx=\sin x+C$

$\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C=\ln |\sec x|+C$

$\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$

$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$

$\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C$

$\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$

$\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$

$\int \sec x\tan xdx=\sec x+C$

$\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C$

$\int {\sin }^{2}xdx=\frac{1}{2}(x-\frac{\sin 2x}{2})+C=\frac{1}{2}(x-\sin x\cos x)+C$

$\int {\cos }^{2}xdx=\frac{1}{2}(x+\frac{\sin 2x}{2})+C=\frac{1}{2}(x+\sin x\cos x)+C$

$\int {\sec }^{3}xdx=\frac{1}{2}\sec x\tan x+\frac{1}{2}\ln |\sec x+\tan x|+C$

$\int {\sin }^{n}xdx=-\frac{{\sin }^{n-1}x\cos x}{n}+\frac{n-1}{n}\int {\sin }^{n-2}xdx$

$\int {\cos }^{n}xdx=\frac{{\cos }^{n-1}x\sin x}{n}+\frac{n-1}{n}\int {\cos }^{n-2}xdx$

Кире тригонометрик функцияләр

$\int \arcsin xdx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C,\text{ for }|x|\le +1$

$\int \arccos xdx=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C,\text{ for }|x|\le +1$

$\int \arctan xdx=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln |1+x^2|+C,\text{ for all real }x$

$\int \mathrm{arccot}xdx=x\mathrm{arccot}x+\frac{1}{2}\ln |1+x^2|+C,\text{ for all real }x$

$\int \mathrm{arcsec}xdx=x\mathrm{arcsec}x-\ln |x(1+\sqrt{1-x^{-2}})|+C,\text{ for }|x|\ge +1$

$\int \mathrm{arccsc}xdx=x\mathrm{arccsc}x+\ln |x(1+\sqrt{1-x^{-2}})|+C,\text{ for }|x|\ge +1$

Гиперболик функцияләр

$\int \sinh xdx=\cosh x+C$

$\int \cosh xdx=\sinh x+C$

$\int \tanh xdx=\ln \cosh x+C$

$\int \coth xdx=\ln |\sinh x|+C,\text{ for }x\ne 0$

$\int \mathrm{sech}xdx=\arctan (\sinh x)+C$

$\int \mathrm{csch}xdx=\ln |\tanh \frac{x}{2}|+C,\text{ for }x\ne 0$

Кире гиперболик функцияләр

$\int \mathrm{arsinh}xdx=x\mathrm{arsinh}x-\sqrt{x^2+1}+C,\text{ for all real }x$

$\int \mathrm{arcosh}xdx=x\mathrm{arcosh}x-\sqrt{x^2-1}+C,\text{ for }x\ge 1$

$\int \mathrm{artanh}xdx=x\mathrm{artanh}x+\frac{\ln (1-x^2)}{2}+C,\text{ for }|x|<1$

$\int \mathrm{arcoth}xdx=x\mathrm{arcoth}x+\frac{\ln (x^2-1)}{2}+C,\text{ for }|x|>1$

$\int \mathrm{arsech}xdx=x\mathrm{arsech}x+\arcsin x+C,\text{ for }0<x\le 1$

$\int \mathrm{arcsch}xdx=x\mathrm{arcsch}x+|\mathrm{arsinh}x|+C,\text{ for }x\ne 0$

Катлаулы функцияләр

$\int \cos ax{e}^{bx}dx=\frac{e^{bx}}{a^2+b^2}(a\sin ax+b\cos ax)+C$

$\int \sin ax{e}^{bx}dx=\frac{e^{bx}}{a^2+b^2}(b\sin ax-a\cos ax)+C$

$\int \cos ax\cosh bxdx=\frac{1}{a^2+b^2}(a\sin ax\cosh bx+b\cos ax\sinh bx)+C$

$\int \sin ax\cosh bxdx=\frac{1}{a^2+b^2}(b\sin ax\sinh bx-a\cos ax\cosh bx)+C$

Әдәбият

• В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»
• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1
• В. М. Бородихин, Высшая математика, учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1