Энергия-импульсның тензоры

Энергия-импульсның тензорының контрвариант компонентлары

Энергия-импульсның тензоры - матдәнең кырлары энергиясе һәм импульсы тыгызлыгын һәм агымын тасвирлаучы һәм гравитацион кыр белән тәэсир итешүне билгеләүче икенче ранглы симметрик тензор.

Махсус чагыштырмалылык теориясендә охшаш төшенчә - Энергия-импульсның 4-векторы бар.

Тасвир

Энергия-импульс тензорының компонентлары 4x4 симметрик чын сандагы матрица төрендә язылып була:

$T^{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}{T}^{00}& T^{01}& T^{02}& T^{03}\\ T^{10}& T^{11}& T^{12}& T^{13}\\ T^{20}& T^{21}& T^{22}& T^{23}\\ T^{30}& T^{31}& T^{32}& T^{33}\end{array}\right).$

Бу тензорда физик зурлыклар күрсәтелгән:

• T⁰⁰ — энергиянең күләмдәге тыгызлыгы, гадәттә ул уңай булырга тиеш, ләкин теориядә тискәре энергия белән өлкәләр исәпкә алыналар. Мисал өчен бу өлкә Казимир эффектында булдырыла.
  • T¹⁰, T²⁰, T³⁰ — тыгызлыкның импульсы компонентлары яктылык тизлегенә таклырланган.
• T⁰¹, T⁰², T⁰³ — энергиянең агымы (Пойнтинг векторы) компонентлары яктылык тизлегенә бүленгән. T^μν симметрисе буенча : T^0μ = T^μ0
• 3 x 3 асматрицасы тик фәзаның компонентларыннан тора:

$T^{ik}=\left(\begin{array}{ccc}{T}^{11}& T^{12}& T^{13}\\ T^{21}& T^{22}& T^{23}\\ T^{31}& T^{32}& T^{33}\end{array}\right)$

- бу импульсның агымы тыгызлыгының 3-үлчәмле тензоры, яки тискәре көчәнешләр тензоры.

Сыеклыкның механикасында тензорның диагональ компонентлары - басымга туры килә, ә бүтән компонентлары - тангенциаль көчләргә - көчәнешләргә туры килә, алар үзлелек белән булдырыла.

Сыеклык өчен Энергия-импульсның тензоры диагональ матрицага туры килә: $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\rho c^2,p,p,p)$, биредә $\rho$ массаның тыгызлыгы, а $p$ — гидростатик басым.

• Гади очракта: тузан сыман матдә өчен Энергия-импульсның тензоры болай бирелә:

$T^{ik}=\rho u^i{u}^k$

биредә $\rho$ — тикторыш массаның тыгызлыгы, $u^i,u^k$ — 4-тизлекнең компонентлары , биредә барлык кисәкчекләр бертигез тизлекләр белән хәрәкәт итәләр.

Каноник энергия-импульсның тензоры

Махсус чагыштырмалылык теориясендә физик кануннар фәза-вакытның барлык юнәлешләрендә бертигез булырга тиеш, шуңа күрә координатларның күчүе кануннарны үзгәртмәскә тиеш. Нөтер теоремасы буенча фәза-вакытның кечкенә күчүенә саклана торган Нөтер агымы туры килә.

Лангранжиан тыгызлыгы ${ℒ}_{\mathrm{M}}={ℒ}_{\mathrm{M}}({\varphi }_i,{\partial }_{\mu }{\varphi }_i)$ кечкенә күчүләргә карата инвариант була:

$\{\begin{array}{c}{x}^{\mu }\to x^{\prime \mu }=x^{\mu }+\delta x^{\mu }\\ {\varphi }_i(x)\to {\varphi }_i^{\prime }(x^{\prime })={\varphi }_i(x).\end{array}$

Нөтер теоремасы буенча каноник Энергия-импульсның тензоры саклану кануны чыга:

${{T_c}^{\mu }}_{\nu }(x)=\sum _{i=1}^n\frac{\partial {ℒ}_{\mathrm{M}}}{\partial ({\partial }_{\mu }{\varphi }_i)}{\partial }_{\nu }{\varphi }_i-{ℒ}_{\mathrm{M}}{\delta }_{\nu }^{\mu },$

Энергия-импульсның тензоры:

${\partial }_{\mu }{T^{\mu }}_{\nu }\equiv T_{\nu ,\mu }^{\mu }=0.$

Контрвариант төрендә Энергия-импульсның тензоры:

$T^{\mu \nu }=g^{\nu \rho }{T^{\mu }}_{\rho }=\sum _{i=1}^n\frac{\partial {ℒ}_{\mathrm{M}}}{\partial ({\partial }_{\mu }{\varphi }_i)}{\partial }^{\nu }{\varphi }_i-{ℒ}_{\mathrm{M}}{g}^{\mu \nu }.$

Классик электродинамикада энергия-импульс тензоры

СИ системасында электромагнит кырының энергия-импульс тензоры:

$T_{00}=\frac{𝐄\cdot 𝐃}{2}+\frac{𝐁\cdot 𝐇}{2}$

$\left(\begin{array}{ccc}{T}_{01}& T_{02}& T_{03}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{T}_{10}& T_{20}& T_{30}\end{array}\right)=\frac{1}{c}[𝐄\times 𝐇]$

$T_{ij}=E_i{D}_j+B_i{H}_j-\frac{1}{2}{\delta }_{ij}(𝐄\cdot 𝐃+𝐁\cdot 𝐇)=E_i{D}_j+B_i{H}_j-{\delta }_{ij}{T}_{00}.$

$T_{ij}$ - өч үлчәмле Максвелл көчәнешләр тензоры

Ковариант төрендә ул болай күренә:

$T^{\mu \nu }=-\frac{1}{{\mu }_0}[F^{\mu \alpha }{F}_{\alpha }{}^{\nu }+\frac{1}{4}{\eta }^{\mu \nu }{F}_{\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }].$

Әдәбият

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2001. — 534 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4.
• § 32 — канонический ТЭИ
• § 94 — метрический ТЭИ.