Кырның квант теориясе

Гармоник осцилляторның энергиясен квантлау

Кырның квант теориясе - чиксез ирек дәрәҗәләре белән квант системаларын - квант кырларын тикшерүче физика бүлеге.

Кырның квант теориясе нигезендә югары энергия физикасы, элементар кисәкчекләр физикасы, каты җисем физикасы булдырылган.

Кырның квант теориясе математик ысулы - квант кыры халәтләренең Гильберт фәзасы һәм аның эчендә эш итүче операторлар. Кырның квант теориясендә кисәкчекләр - юк ителми торган объект мәгънәсендә булмыйлар, кисәкчекләр урынына квант кырының ярсуларын тасвирлаучы Фок фәзасы векторлары кертелгән. Дулкынча функция урынына биредә кыр операторы тикшерелә.

Кырның квант теориясе нигезләре

Лагранж мәсләге

Кыр $\psi (x)$ - кырның функциясе белән тасвирлана һәм $ℒ$ - фәза ноктасында Лагранжиан тыгызлыгы белән сыйфатлана.

$ℒ=ℒ(\psi ,\dot{\psi })$.

Лагранжиан:

$L=\int ℒ(\psi ,\dot{\psi })d^{3}x$.

Тәэсир S:

$S=\int ℒ(\psi ,\dot{\psi })d^{4}x$.

Иң кечкенә тәэсир мәсләге ярдәмендә кыр өчен Эйлер-Лагранж тигезләмәләре чыгарыла:

$\frac{\partial }{\partial x^{\nu }}\left(\frac{\partial ℒ}{\partial ({\partial }_{\nu }{\psi }^l)}\right)=\frac{\partial ℒ}{\partial {\psi }^l}$

Мисал: cкаляр кыр белән лагранжиан $ℒ=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\psi {\partial }^{\mu }\psi -\frac{m^2}{2}{\psi }^2$.

Хәрәкәт тигезләмәләре бу кыр өчен Клейн-Гордон тигезләмәләренә китерә:

${\partial }_{\mu }{\partial }^{\mu }\psi =m^2\psi$.

Нөтер теоремасы

Нөтер теоремасы буенча Тәэсир инвариантлыгыннан Энергия-импульс саклану кануны чыгарыла, шул исәптә

$4$-импульс $p^{\mu }$.

Кырның Һамильтонианы

$H=\sum _l\int {\mathrm{\Pi }}_l{\dot{\psi }}^l{d}^{3}x-ℒ$

биредә ${\mathrm{\Pi }}_l$ - ${\dot{\psi }}^l$ буенча лагранжианның вариацион чыгарылмасы.

Кыр һәм гармоник осциллятор

Клейн-Гордон скаляр кыры - осцилляторлар җыелмасы буларак тикшерелеп була. Шул шартларда осцилляторның энергиясе һәм импульслары квантланалар:

$\overrightarrow{k}(n)=\frac{2\pi }{L}(n_1,n_2,n_3),{\omega }_n^2=m^2+\frac{4{\pi }^2}{L^2}{n}^2$

ешлык ${\omega }_k=\sqrt{\stackrel{2}{\overrightarrow{k}}+m^2}$

Кырны квантлау. Квантны тудыру һәм юк итү операторлары

Квантлау - кырлардан операторларга күчеш.

Квант гармоник осцилляторына өчен энергияне квантлау:

$E_n=\hslash \omega (n+1/2)$.

${\hat{a}}^{+}{\psi }_n=\sqrt{n+1}{\psi }_{n+1}$ — күтәрүче оператор,

$\hat{a}{\psi }_n=\sqrt{n}{\psi }_{n-1}$ — төшерүче оператор.

• Күтәрүче оператор квант санын күтәрә һәм энергияне арттыра, ягъни яңа квантны $\hslash \omega$ энергиясе белән тудыра.
• Төшерүче оператор квант санын төшерә һәм энергияне киметә, ягъни квантны $\hslash \omega$ энергиясе белән юк итә.

Гармоник осцилляторның Һамильтонианы

$H=\hslash \omega (\hat{n}+1/2)$,

биредә $\hat{n}={\hat{a}}^{+}\hat{a}$ — кырның квант саны операторы.

Операторның үз саннары

$\hat{n}{\psi }_n=n{\psi }_n$ — квантлар саны.

n-кисәкчекле кыр халәте - вакуумга тудыру операторлары тәэсире нәтиҗәсендә килеп чыга

${\psi }_n=\frac{({\hat{a}}^{+}{)}^n}{\sqrt{n!}}{\psi }_0$

Тутыру саннары аңлатмасы

N осцилляторлы системаның Һамильтонианы аерым Һамильтонианнар суммасына тигез. Һәрбер Һамильтониан өчен ${\hat{a}}_k^{+},k=1,...,N$ - тудыру операторы.

Бу очракта квант халәте тутыру саннары белән билгеләнә. Тутыру саннары $n_k$ — вакуумга тәэсир итүче операторлар саны:

$\psi (n_1,...,n_N)=\prod _{(k)}\frac{({\widehat{a_k}}^{+}{)}^{n_k}}{\sqrt{n_k!}}{\psi }_0$

Бу аңлатма тутыру саннары аңлатмасы дип йөртелә. Тутыру саннары аңлатмасы буенча система халәте ярсыну халәтенең саны белән сыйфатлана.

Моны да карагыз

• Шрөдингер тигезләмәсе
• Клейн — Гордон тигезләмәсе
• Билгесезлек принцибы
• Паули мәсләге
• Бозе — Эйнштейн бүленеше
• Ферми — Дирак бүленеше

Әдәбият

• Квантовая теория поля // Физическая энциклопедия (гл. редактор А. М. Прохоров).
• Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — М.: Наука, 1984. — 600 с.
• Бьёркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. — М.: Наука, 1978. — 296+408 с.
• Вайнберг С. Квантовая теория поля. — М.: Физматлит, 2003. — Т. 1, 2. — 648+528 с.
• Вайнберг С. Квантовая теория полей. — М.: Фазис, 2002. — Т. 3. — 458 с.
• Вентцель Г. Введение в квантовую теорию волновых полей. — М.: ГИТТЛ, 1947. — 292 с.
• Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — Ижевск: РХД, 2009. — 632 с.
• Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. — М.: Мир, 1984. — Т. 1. — 448 с.
• Пескин М., Шрёдер Д. Введение в квантовую теорию поля. — Ижевск: РХД, 2001. — 784 с.
• Райдер Л. Квантовая теория поля. — М.: Мир, 1987. — 512 с.
• Фейнман Р. КЭД — странная теория света и вещества. — М.: Наука, 1988. — 144 с.