Fridman Ğäläme

Калып:Космология Fridman Ğäläme yäki Fridman-Lemetr-Robertson-Woker metrikası - Ğomumi çağıştırmalılıq teoriäseneñ qır tigezlämälärenä turı kilüçe Ğälämneñ kosmologik statsionarsız modele.

1922 yılda SSRB-Räsäy fiziğı Aleksandr Fridman tarafınnan tabılğan.

Fridman modele uñay, nul', tiskäre käkrelekkä iä buluçı matdädän torğan beriş izotrop häm ğomumi oçraqta statsionarsız (waqıt belän üzgärüçe) Ğälämne taswirlıy.

1915-1917 yıllarda Albert Eynşteyn yasağan eşlärdän soñ, bu model Ğomumi çağıştırmalılıq teoriäsen berençe üsterü bulğan.

Baştaraq Eynşteyn Fridman statsionarsız çişeleşlärenä tiskäre qarıy häm statsionarlıqnı buldıru öçen Ğomumi çağıştırmalılıq teoriäsenä maxsus äğzanı - lämda äğza yäki Kosmologik daimine kertä. Soñraq Eynşteyn Fridmannıñ xaqlığın raslıy.

Ğälämneñ üzgärüçänlege galaktikalarnıñ aralıqqa bäyle qızıl taypılması yärdämendä isbatlanğan (Erwin Habbl, 1929).

Fridman-Robertson-Woker metrikası

Kristoffel simvollarınıñ küreneşe
$\begin{array}{ccc}{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^0=a\dot{a}{\tilde{g}}_{ij}& {\mathrm{\Gamma }}_{0j}^i=\frac{\dot{a}}{a}{\delta }_{ij}& {\mathrm{\Gamma }}_{jl}^i={\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{jl}^i=k{\tilde{g}}_{jl}{x}^i\end{array}$
Kristoffel simvollarınnan çığarılmalar
$\begin{array}{ccc}\frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{ij}^0}{\partial t}={\tilde{g}}_{ij}\frac{d}{dt}(\dot{a}a),& {\mathrm{\Gamma }}_{ik}^0{\mathrm{\Gamma }}_{j0}^k={\tilde{g}}_{ij}{\dot{a}}^2,& {\mathrm{\Gamma }}_{ij}^0{\mathrm{\Gamma }}_{0l}^l=3{\tilde{g}}_{ij}{\dot{a}}^2,\\ \frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{i0}^i}{\partial t}=3\frac{d}{dt}\left(\frac{\dot{a}}{a}\right),& {\mathrm{\Gamma }}_{0j}^i{\mathrm{\Gamma }}_{i0}^j=3{\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2\end{array}$

Beriş izotrop Ğälämneñ geometriäse - beriş izotrop öç ülçämle küptörlelekneñ geometriäse. Bu küptörleleklärneñ merikası - Fridman-Robertson-Woker metrikası bulıp tora, anda interval:

$d{s}^2=d{t}^2-a^2(t)d{\chi }^2$

Biredä Калып:Math - kiñäymäwçe aralıq yäki komform yıraqlıq, ul waqıt belän üzgärmi, biredä t - yaqtılıq tizlegendä ülçänä. Şunı isäpkä alıp, interval:

$d{s}^2=d{t}^2-a^2(t)(d{x}^2+k\frac{(xdx{)}^2}{1-k{x}^2})$,

biredä k:

• k=0 öç ülçämle yassılıq öçen
• k=1 öç ülçämle sfera öçen
• k=-1 öç ülçämle hipersfera öçen

Калып:Math — öç ülçämle radius-vektor: $x=\left\{\begin{array}{ccc}{x}_1,& x_2,& x_3\end{array}\right\}$.

• İskärmä: öç ülçämle törleleklärneñ tik 3 töre bar: öç ülçämle sfera, öç ülçämle hipersfera, öç ülçämle yassılıq.
  • öç ülçämle yassılıqnıñ metrikası:

$d{s}^2=(dx{)}^2$

• • öç ülçämle sferanıñ metrikası:

$d{s}^2=(d{x}_0{)}^2+(dx{)}^2$

häm sferanıñ tigezlämäse östälä::

$a^2=(x_0{)}^2+x^2$

• • hipersferanıñ metrikası 4-ülçämle Minkovskiy fäzasında:

$d{s}^2=-(d{x}_0{)}^2+(dx{)}^2$

Sfera öçen kebek, hiperboloid tigezlämäse östälä:

$a^2=(x_0{)}^2-x^2$

Fridman-Robertson-Woker metrikası (FWT) barlıq öç varıantnı ber formulağa tuplıy.

Fridman-Robertson-Woker metrikası tenzor küreneşendä:

$d{s}^2=g_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }$,

metrik tenzornıñ komponentları:

$\begin{array}{ccc}{g}_{ij}=a^2(t)({\delta }_{ij}+k\frac{x^i{x}^j}{1-k{r}^2}),& g_{i0}=0,& g_{00}=-1\end{array}$,

biredä $i,j$ 1…3 qimmätlärdä üzgärä,

$r^2=(x^1{)}^2+(x^2{)}^2+(x^3{)}^2$,

$x^0$ — waqıt koordinatası.

Töp tigezlämälär

İdeal' sıyıqlıq öçen ĞÇT tigezlämäsenä Fridman-Robertson-Woker metrikası quyıp, tigezlämälär sistemasın tababız:

• Energiä tigezlämäse:

${\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G\rho }{3}-\left(\frac{k{c}^2}{a^2}\right)+\frac{\mathrm{\Lambda }{c}^2}{3}$

• Xäräkät tigezlämäse:

$\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho +\frac{3P}{c^2})+\frac{\mathrm{\Lambda }{c}^2}{3}$

• Özleksezlek tigezlämäse:

$\frac{d\rho }{dt}=-3H(\rho +\frac{P}{c^2})$

biredä Λ — Kosmologik daimi, ρ — Ğälämneñ urtaça tığızlığı, P — basım, с — yaqtılıq tizlege.

Şuşı tigezlämälär küp çişeleşlärgä iä, waqıt belän parametrlar üzgärälär.

Habbl qanunın añlatu

Fridman metrikası Habbl qanunın çığarıp añlata.

Ägär küzätüçedän r₁ aralığında çığanaq bulsa, annan kilüçe dulqınnıñ fazası terkälä. Ber fazalı noqtalar arasında intervalnı tikşerik:

$\frac{\delta t_1}{\delta t_0}=\frac{{\nu }_0}{{\nu }_1}\equiv 1+z$

İkençe yaqtan yaqtılıq dulqını öçen Fridman mrtrikası buynça tigezlek bar::

$dt=\pm a(t)\frac{dr}{\sqrt{1-k{r}^2}}$

integral alıp:

$\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}\frac{dt}{a(t)}=\underset{0}{\overset{r_c}{\int }}\frac{dr}{\sqrt{1-k{r}^2}}$

tababız:

$\frac{\delta t_1}{a(t_1)}=\frac{\delta t_0}{a(t_0)}$

berençe tigezlämägä quyıp:

$1+z=\frac{a(t_0)}{a(t_1)}$

Калып:Math Teylor rätenä a(t1) üzägendä tarqatabız:

$a(t)=a(t_1)+\dot{a}(t_1)(t-t_1)$

Monnan Habbl qanunın tababız:

$cz=\frac{\dot{a}(t_1)}{a(t_1)}c(t-t_1)=HD$

Habbl daimie:

$H=\frac{\dot{a}(t_1)}{a(t_1)}$

Näticälär

Fäzanıñ käkrelege häm çik tığızlığı

Energiä tigezlämäsenä Habbl daimie öçen formulanı quyıp, tığızlıqlar tigezlämäsen çığarabız:

$1={\mathrm{\Omega }}_m+{\mathrm{\Omega }}_k+{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}$,

biredä

${\mathrm{\Omega }}_m=\frac{\rho }{{\rho }_{cr}}$ - matdäneñ tığızlığı / çik tığızlığı

${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}=\frac{8\pi G\mathrm{\Lambda }{c}^2}{{\rho }_{cr}}$ - qara energiäneñ tığızlığı / çik tığızlığı

${\rho }_{cr}=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$ - çik tığızlığı

${\mathrm{\Omega }}_k=-\frac{k{c}^2}{a^2{H}^2},$ - fäzanıñ käkrelege öçen cawaplı äğza

Şuşı tigezlämä bolay yazarğa bula:

${\mathrm{\Omega }}_k=1-({\mathrm{\Omega }}_m+{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }})=1-\left(\frac{\rho +{\rho }_{\mathrm{\Lambda }}}{{\rho }_{cr}}\right)$

Şunnan möhim näticä yasap bula:

$k=\{\begin{array}{cc}-1,& \rho +{\rho }_{\mathrm{\Lambda }}<{\rho }_{cr}\\ 0,& \rho +{\rho }_{\mathrm{\Lambda }}={\rho }_{cr}\\ 1,& \rho +{\rho }_{\mathrm{\Lambda }}>{\rho }_{cr}\end{array}$

Matdäneñ tığızlığı evolütsiäse

Däwer	$a(\eta )$ evolütsiäse	Habbl daimie
İnflätsion	$a\propto e^{Ht}$	$H^2=\frac{8\pi }{3}\frac{{\rho }_{vac}}{M_{pl}^2}$
Nurlanışnıñ östen buluı Калып:Math	$a\propto t^{\frac{1}{2}}$	$H=\frac{1}{2t}$
Tuzan çorı Калып:Math	$a\propto t^{\frac{2}{3}}$	$H=\frac{2}{3t}$
$\mathrm{\Lambda }$-östen buluı Калып:Math	$a\propto e^{Ht}$	$H^2=\frac{8\pi }{3}G{\rho }_{\mathrm{\Lambda }}$

Xalät tigezlämäse:

$p=\omega \rho$

Özleksezlek tigezlämäsenä quyıp, çişeleşne tababız:

$p\propto a^{-3-3\omega }\Rightarrow \rho \propto a^{-3-3\omega }$

Törle oçraqlarda bu bäylelek törleçä kürenä:

• Salqın matdä oçrağı (mäsälän tuzan) Калып:Math

$\rho \propto a^{-3}$

• Qaynar matdä oçrağı (mäsälän nurlanış) Калып:Math

$\rho \propto a^{-4}$

• Vakuum energiäse oçrağı Калып:Math

$\rho =const$

Şuña kürä, Ğälämneñ irtä däwerendä fäzanıñ käkrelege äğzasın Калып:Math isäpkä almasqa bula häm Ğälämne yassı bulıp qarap bula.

Şulay uq möhim çik qimmäte çığarıla:

${\omega }_0=-\frac{1}{3}$

• Bu qimmättän zurraq oçraqta, kiñäyü äkrenäyä
• Bu qimmättän keçeräk oçraqta, kiñäyü tizlänä

ΛCDM

WMAP häm Planck buyınça kosmologik parametrlar
	WMAP	Planck
Ğälämneñ yäşe Калып:Math, mlrd yıl	13,75±0,13	13,81±0,06
Habbl daimie Калып:Math, (km/s)/Mpk	71,0±2,5	67,4±1,4
Barion matdäse tığızlığı Калып:Math	0,0226±0,0006	0,0221±0,0003
Qara matdä tığızlığı Калып:Math	0,111±0,006	0,120±0,003
Tulı tığızlıq Калып:Math	1,08	1,0±0,02
Barion matdäse tığızlığı Калып:Math	0,045±0,003
Qara energiä tığızlığı Калып:Math	0,73±0,03	0,69±0,02
Qara matdä tığızlığı Калып:Math	0,22±0,03

ΛCDM yäki Lämbda-CDM modele - barion matdäse, qara matdä häm qara energiäne isäpkä aluçı Fridman modele, zamança kiñäyü modele.

Ğälämneñ yäşe

Kiñäyü başlanuınnan waqıt Ğälämneñ yäşe dip yörtelä, ul bolay tabıla:

Tığızlıqnıñ evolütsiäsen isäpkä alıp, tulı tığızlıq tübändägeçä yazıla:

$\rho ={\rho }_c({\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}+{\mathrm{\Omega }}_k{\left(\frac{a_0}{a}\right)}^2+{\mathrm{\Omega }}_m{\left(\frac{a_0}{a}x\right)}^3+{\mathrm{\Omega }}_l{\left(\frac{a_0}{a}\right)}^4)$

Şunı energiä tigezlämäsenä quyıp, Ğälämneñ yäşen tababız:

$t=\frac{1}{H_0}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{x\sqrt{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}+{\mathrm{\Omega }}_k{x}^{-2}+{\mathrm{\Omega }}_d{x}^{-3}+{\mathrm{\Omega }}_l{x}^{-4}}},x=\frac{a}{a_0}$

Sıltamalar

• Космология Калып:Webarchive
• G.A. Tammann, B. Reindl, Cosmic Expansion and Ho: A Retro- and Pro-Spective Note
• G.A. Tammann, The Ups and Downs of the Hubble Constant.
• С.Б. Попов, А.В. Топоренский, Не боги расширение вселенной наблюдают.
• С.Б. Попов, А.В. Топоренский, За горизонтом вселенских событий.
• Калып:Cite web