Ньютон-Лейбниц формуласы

Ньютон-Лейбниц формуласы (анимация)

Ньютон-Лейбниц формуласы яки анализның төп теоремасы ике операция арасында нисбәт бирә: Риман интегралын алу һәм алынманы исәпләү.

Әгәр $f(x)$ $[a,b]$ кисемтәсендә өзлексез функция һәм $\mathrm{\Phi }(x)$ — аның бу кисемтәдә теләсә нинди алынмасы булса, ул чакта түбәндәге тигезлек дөрес

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\mathrm{\Phi }(b)-\mathrm{\Phi }(a)=\mathrm{\Phi }(x){|}_a^b$

Тарихы

Математик анализ барлыкка килгәнгә кадәр үк бу теорема (геометрик яки механик формулировкада) Грегори һәм Барроуга билгеле була. Мәсәлән, Барроу бу фактны 1670 елда квадратура һәм тиючеләрне үткәреү мәсьәләләре арасында бәйләнеш итеп тасвирлый.
Ньютон теореманы сүз белән шулай әйтеп бирә: «Абсциссаның ниндидер өлөшенә теркәлгән мәйданның тиешле кыйммәтен табу өчен, бу мәйданны һәр чак z [алынманың], мәйданның башы һәм азагы белән чикләнгән абсциссаның ярашлы өлешләрендәге кыйммәтләренең аермасына тигез итеп алырга кирәк». Лейбницта та бу формуланың хәзерге күренештә язылышы юк, чөнки анык интегралның тамгаланышы күпкә соң барлыкка килә, XIX гасыр башында Фурье кертә.
Хәзерге формулировканы Лакруа XIX гасыр башында китерә.

Лебег интегралы

$F(x):=C+\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$ функциясе $f(x)$ суммаланучы функциясенең аныксыз интегралы булып тора. $F(x)$ функциясе абсолют өзлексез була.
(Лебег теоремасы): $f(x)$ $[a,b]$ кисемтәсендә абсолют өзлексез шул чакта һәм тик шул чакта гына, әгәр $[a,b]$ кисемтәсендә шундый интегралланучы $g$ функциясе булса, монда $f(x)=f(a)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}g(t)dt$ $\mathrm{\forall }x\in [a,b]$.
Бу теореманан, әгәр $f$ $[a,b]$ кисемтәсендә абсолют өзлексез булса, аның чыгарылмасы һәр җирдә диярлек бар, интегралланучы һәм түбәндәге тигезлекне кәнәгатьләндерә икәне килеп чыга:

$f(x)=f(a)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}{f}^{\prime }(t)dt$, $x\in [a,b]$.

Кайсы бер нәтиҗәләре

Бу теореманың нәтиҗәсе сыйфатында үзгәрүчәннәрне алмаштыру формуласын, шулай ук монотон функцияларне Лебег таркатуы турында теореманы әйтергә була.

Өлөшләре буенча интеграллау

$f$ һәм $g$ — $[a,b]$ кисемтәсендә абсолют өзлексез функцияләр икән, ди. Ул чакта:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(x)g(x)dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g^{\prime }(x)dx$.

Формула анализның төп теоремасынан һәм Лейбниц кагыйдәсеннән шунда ук килеп чыга.

Вариацияләр һәм гомумиләштерүләр

• Стокс теоремасы
  
• Гриндның дискрет теоремасы
  

Шулай ук карагыз

• Алгебраның төп теоремасы
  
• Арифметиканың төп теоремасы
  

Әдәбият

• Калып:Книга
• Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
• Калып:Книга