Дивергенция (математика)

Вектор функциясе һәм аның дивергенциясе: кызыл төс дивергенция артуын, яшел төс кимүен күрсәтә

Дивергенция (лат. divergere — таралуны табу) — вектор кырын скаляр кырына әйләндерүче дифференциаль оператор, кечкенә өслек аша вектор кырының агымын тасвирлый, ягъни керүче һәм чыгучы вектор агымнарының ничек таралуын билгели.

Дивергенция операторы болай билгеләнә:

$\mathrm{div}𝐅$

яки

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$.

Математик билгеләмә

Математикада дивергенция болай билгеләнә:

$\mathrm{div}𝐅=\underset{V\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{\Phi }}_{𝐅}}{V}$

биредә Ф_F — S мәйданлы сферик өслек аша F вектор кырының агымы, сфера V күләмен чикли.

Агым:

${\mathrm{\Phi }}_{𝐅}=\underset{S}{\iint }\subset \supset (\overrightarrow{F},d\overrightarrow{S})$.

Әлеге билгеләмә теләгән координаталарда кулланыла.

Декарт координатларында

Өч үлчәмле Декарт координатларында дивергенция болай билгеләнә:

$\mathrm{div}𝐅=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$

(биредә F - ниндидер вектор кыры һәм аның компонентлары $F_x,F_y,F_z$):

Набла операторы ярдәмендә болай языла:

$\mathrm{div}𝐅=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$

Физик аңлатма

Физикада вектор кырыннан дивергенция әлеге нокта - кырның чыганагы (яки китеме) булу-булмавын күрсәтә:

$\mathrm{div}𝐅>0$ — кырның ноктасы кырның чыганагы булып тора;

$\mathrm{div}𝐅<0$ — кырның ноктасы кырның китеме булып тора;

$\mathrm{div}𝐅=0$ — кырның чыганаклары һәм китемнәре юк.

Үзлекләре

• Сызыклылык:

$\mathrm{div}(a𝐅+b𝐆)=a\mathrm{div}(𝐅)+b\mathrm{div}(𝐆)$

F , G - вектор кырлары, a , b - чын саннар.

• $\phi$ — скаляр кыр, ә F — вектор кыры өчен:

$\mathrm{div}(\phi 𝐅)=\mathrm{grad}(\phi )\cdot 𝐅+\phi \mathrm{div}(𝐅),$ яки

$\mathrm{\nabla }\cdot (\phi 𝐅)=(\mathrm{\nabla }\phi )\cdot 𝐅+\phi (\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅).$

• ротор белән бәйләнеш:

$\mathrm{div}(𝐅\times 𝐆)=\mathrm{rot}(𝐅)\cdot 𝐆-𝐅\cdot \mathrm{rot}(𝐆),$ яки

$\mathrm{\nabla }\cdot (𝐅\times 𝐆)=(\mathrm{\nabla }\times 𝐅)\cdot 𝐆-𝐅\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐆).$

• градиенттан дивергенция лапласианга тигез:

$\mathrm{div}(\mathrm{grad}(\phi ))=\mathrm{\Delta }\phi$

• ротордан дивергенция нульга тигез:

$\mathrm{div}(\mathrm{rot}(𝐅))=0$

• Остроградский-Гаусс тигезләмәсе:

$\underset{V}{\iiint }\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝐅dV=\underset{S}{\int }\int \subset \supset 𝐅\cdot 𝐧dS,$

Әдәбият

• Александрова Н. В. Формирование основных понятий векторного исчисления. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1982. — № 26. — С. 205-234.
• Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
• Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002)
• Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
• Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматлит, 1963, 411 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966.