Геометрик прогрессия

Геометрик прогрессия — $b_1,b_2,b_3,\dots$ саннарының (прогрессия әгъзалары) эзлеклелеге, прогрессиянең һәр киләсе әгъзасы элекке әгъзасы һәм билгеләнгән сан $q$ (прогрессия ваклаучысы) тапкырчыгышына тигез: $b_1=0$, $q=0$: $b_1,b_2=b_{1}q,b_3=b_{2}q,\dots ,b_n=b_{n-1}q$

Тасвир

Геометрик прогрессиянең һәр әгъзасы түбәндәге тигезләмәдә исәпләнә:

$b_n=b_1{q}^{n-1}$

• $b_1>0$ һәм $q>1$ булган очракта прогрессия артучы эзлеклелек дип атала
• $0<q<1$ булган очракта прогрессия кимүче эзлеклелек дип атала
• $q<0$ булган очракта прогрессия алмаш тамгалы эзлеклелек дип атала

Прогрессия геометрик дип йөртелә, чөнки аның төп үзлеге:

$|b_n|=\sqrt{b_{n-1}{b}_{n+1}},$

ягъни һәр әгъзасы аның күршеләренең уртача геометрик зурлыгына тигез.

Үзлекләре

• Геометрик прогрессия әгъзаларыннан логарифмнар арифметик прогрессияне төзи.
• $b_n^2=b_{n-i}{b}_{n+i}$, $1<i<n$ өчен

• тапкырчыгышлар:

  $P_n=(b_1\cdot b_n{)}^{\frac{n}{2}}$.

  $P_{k,n}=\frac{P_n}{P_{k-1}}$.

• Геометрик прогрессиянең $n$ әгъзалары суммасы:

$S_n=\{\begin{array}{cc}\sum _{i=1}^n{b}_i=\frac{b_1-b_1{q}^n}{1-q}=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q},& \text{if }q\ne 1\\ \\ n{b}_1,& \text{if }q=1\end{array}$

• Әгәр $\left|q\right|<1$ булса: $n\to +\mathrm{\infty }$ өчен $b_n\to 0$

һәм

• $n\to +\mathrm{\infty }$ өчен $S_n\to \frac{b_1}{1-q}$

Әдәбият

• Геометрическая прогрессия на mathematics.ru
• Геометрическая прогрессия — статья из Большой советской энциклопедии (3-е издание).
• Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Mathesis, 1923.