Гармоник рәт

Гармоник рәт — җыелмый торган чиксез гармоник рәт: натураль рәтнең саннарына кире әгъзаларның суммасы:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{k}+\cdots$.

Рәт гармоник дип аталган, чөнки эскрипкә кылыннан чыгарылган $k$-нче гармоникаларның суммасына тигез. $k$-нче гамоника - башлангыч кылның $\frac{1}{k}$- озынлыклы кылының төп тавышы (тон).

Җыелмаучанлык

Гармоник рәт әкрен кенә җыелмый, өлешчә суммасы 100 не арттырып үтәсен өчен 10⁴³ рәт әгъзасы кирәк.

Рәтнең аерым әгъзалары нульга омтылса да, аның суммасы җыелмый. Өлешчә суммасы болай бирелә:

$s_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{n}$

$s_n\to \mathrm{\infty }$ $n\to \mathrm{\infty }$

Өлешчә суммалары

$\begin{array}{ccc}{s}_1& =& 1\\ \\ s_2& =& \frac{3}{2}& =& 1,5\\ \\ s_3& =& \frac{11}{6}& \approx & 1,833\\ \\ s_4& =& \frac{25}{12}& \approx & 2,083\\ \\ s_5& =& \frac{137}{60}& \approx & 2,283\end{array}$

$\begin{array}{ccccc}{s}_6& =& \frac{49}{20}& =& 2,45\\ \\ s_7& =& \frac{363}{140}& \approx & 2,593\\ \\ s_8& =& \frac{761}{280}& \approx & 2,718\\ \\ s_{10^3}& \approx & 7,484\\ \\ s_{10^6}& \approx & 14,393\end{array}$

Эйлер тигезләмәсе

1740 елда Леонард Эйлер рәтнең беренче $n$ әгъзалары суммасы өчен тигезләмә таба:

$s_n=\ln (n)+\gamma +{\epsilon }_n$,

биредә $\gamma =0,5772...$ — Эйлер — Маскерони даимие, ә $\ln$ — натураль логарифм.

$n\to \mathrm{\infty }$ ${\epsilon }_n\to 0$, шуңа күрә зур $n$ өчен:

$s_n\approx \ln (n)+\gamma$ — Эйлер формуласы

Эйлер тигезләмәсе буенча суммалар

$n$	$s_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$	$\ln (n)+\gamma$	${\epsilon }_n$, (%)
10	2,93	2,88	1,7
25	3,82	3,80	0,5

Төгәлрәк ассимтотик формула::

$s_n\asymp \ln (n)+\gamma +\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\frac{1}{252n^6}\dots =\ln (n)+\gamma +\frac{1}{2n}-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{2k{n}^{2k}}$, биредә $B_{2k}$ — Бернулли саннары

Әлеге рәт җыелмый.

Бәйләнгән рәтләр

Дирихле рәте

Гомумиләштерелгән гармоник рәт яки Дирихле рәте түбәндәге бирелә:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^{\alpha }}=1+\frac{1}{2^{\alpha }}+\frac{1}{3^{\alpha }}+\frac{1}{4^{\alpha }}+\cdots +\frac{1}{k^{\alpha }}+\cdots$.

Дирихле рәте

• $\alpha ⩽1$ булган очракта җыелмый : $s_n\to \mathrm{\infty }$ $n\to \mathrm{\infty }$
• $\alpha >1$ булган очракта җыела

$\alpha$-дәрәҗәдәге Дирихле рәтенең суммасы Риман дзета-функциясенә тигез:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^{\alpha }}=\zeta (\alpha )$

мәсәлән, $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$,

Гармоник рәтнең җыелмаучанлыгы түбәндәге тигезләмәдән күренә:

$\zeta (1+\frac{1}{n})\sim n$.

$s_n\to \mathrm{\infty }$ $n\to \mathrm{\infty }$

Алмаш тамгалы рәт

Алмаш тамгалы рәт түбәндәге күренә:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots$

Алмаш тамгалы рәт Лейбниц билгесе буенча җыела, әлеге рәт шартлы җыелучан дип атала. Аның суммасы:

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots =\ln 2.$

Лейбниц рәте

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots =\frac{\pi }{4}.$

Әдәбият

• Р. Грэхэм, Д. Кнут, О. Паташник Конкретная математика. Основание информатики — М.: Мир; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — стр. 47. — С. 703 ISBN 5-03-003773-X
• Harmonic Number — from Wolfram MathWorld
• Перейти к: 1 2 Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981, 718 с.
• «Random Harmonic Series», American Mathematical Monthly 110, 407—416, May 2003