Архимед спирале

Рәс. 0

Рәс. 1

Архиме́д спира́ле — спираль, яссы кыек, башлангычы O-да булып OV нуры буйлап бертөрле тигез чамалы итеп хәрәкәтләнүче M (1-енче рәсемне кара) ноктасының траекториясе. Башка сүзләр белән ρ = OM арасы OV нурының φ борылу почмагына пропорциональ. OV нурының бер почмакка борылышына бер һәм шул ук ρ артуы тәңгәл килә.
Бу спиральнең хасиятләре борынгы грек галиме Архимед тарафыннан "Спиральләр турында" иншасында тасвирланган.

Тасвирлама

Поляр координаталар системасында Архимед спираленең тигезләмәсе шулай дип языла:

(1)  $\rho =k\phi ,$

биредә k — M ноктасының r нуры буенча бер радианга тигез почмакка борылганда күчеше.

Турының $2\pi$-га борылышына a = |BM| = |MA| = $2k\pi$ күчеше тәңгәл килә. a саны «спираль адымы» дип атала. Архимед спираленең тигезләмәсен башкача шулай дип язарга мөмкин:

$\rho =\frac{a}{2\pi }\phi .$

Нурны сәгать йөрешенә каршы борганда уң спираль (зәңгәр сызык) (2-енче рәсемне кара), сәгать йөреше буенча борганда — сул спираль (яшел сызык) барлыкка килә.

2-нче рәсем

Спиральнең ике ботагы да (уң һәм сул) бер тигезләмә белән тасвирлана (1). Уңай кыйммәтләргә $\phi$ уң спираль, тискәреләргә — сул спираль туры килә. Әгәр M ноктасы UV турысы буенча тискәре кыйммәтләрдән O әйләнү үзәге аша һәм дәвам итеп уңай кыйммәтләргә UV турысы буйлап хәрәкәтләнсә, M ноктасы спиральнең ике ботагын да сызачак.

Башлангыч O ноктасыннан сызылган OV нуры спиральне чиксез кат кисеп уза — B, M, A нокталары һ.б. B һәм M, M һәм A нокталары аралары спираль адымы $a=2k\pi$-га тигез. Спираль сүтелгәндә O ноктасыннан M ноктасына кадәр ара чиксезлеккә омтыла һәм спиральнең адымы даими (чикле) булып кала, ягъни үзәктән ераграк булган саен, спиральнең чорнамнары әйләнәгә якынлаша.

Сектор мәйданы

OCM секторының мәйданы $S$:

$\left(2\right)$ $S=\frac{1}{6}\phi ({\rho }^2+\rho {\rho }^{\prime }+\rho {\text{'}}^2)$,

биредә $\rho =OC$, ${\rho }^{\prime }=OM$, $\phi =\mathrm{\angle }COM$.

$\rho =0$, ${\rho }^{\prime }=a$, $\phi =2\pi$ булганда, формула (2) формула беренче спиральнең беренче чорнамы һәм CO кисемтәсе арасында фигураның мәйданын бирә:

$S_1=\frac{1}{3}\pi a^2=\frac{1}{3}S{\text{'}}_1$,

биредә $S{\text{'}}_1$ — радиусы спиральнең адымы — $a$-га тигез түгәрәкнең мәйданы .

Барча бу хасиятләр һәм тигезләмәләр Архимед тарафыннан ачылган булган.

Архимед спирале дугасы озынлыгын исәпләү

Дуганың чиксез кечкенә кисемтәсе $dl$ шуңа тигез (рәс.3 кара):

Рәс. 3: Архимед спирале дугасы озынлыгын исәпләү

$dl=\sqrt{d{\rho }^2+d{h}^2}$,

биредә $d\rho$ — $\phi$ почмагының $d\phi$-га арттырганда радиусның артышы. Чиксез кечкенә $d\phi$ почмак артышы өчен түбәндәге дөрес:

$d{h}^2={\left(\rho d\phi \right)}^2$.

Шуңа күрә:

$dl=\sqrt{d{\rho }^2+{\rho }^{2}d{\phi }^2}$

$\rho =k\phi$ һәм

$d\rho =kd\phi$ булганга күрә

яки

$dl=\sqrt{k^{2}d{\phi }^2+k^2{\phi }^{2}d{\phi }^2}$

$dl=kd\phi \sqrt{1+{\phi }^2}$.

$L$ дугасының озынлыгы $dl$-дан $d\phi$ буенча $0$-дан $\phi$-га кадәр интегралга тигез:

$L=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}k\sqrt{1+{\phi }^2}d\phi$

$L=\frac{k}{2}[\phi \sqrt{1+{\phi }^2}+\ln (\phi +\sqrt{1+{\phi }^2})]$.

Өч үлчәмле гомумиләштерү

Архимед спираленең өч үлчәмле гомумиләштерүе дип коник спиральнең конус күчәренә перпендикуляр яссылыкка проекциясен санарга була.

Коник спиральнең конус күчәренә перпендикуляр яссылыкка проекциясе буларак Архимед спирале (кара), цилиндрик спираль (яшел) һәм коник спираль (кызыл)