Чигереш (комплекс анализ)

Чигереш комплекс анализда - локаль үзлекләрен тасвирлаучы функциянең махсус объекты.

$a$ ноктасында $f(z)$ функциясенең чигереше түбәндәге сан атала:

${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{a}f(z)=\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{1}{2\pi i}\underset{|z-a|=\rho }{\int }f(z)dz$.

Чигереш Лоран рәтенең $f(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-a{)}^n$

$c_{-1}$ коэффициентына тиң була.

Чиксезлектә чигереш: :

${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{\mathrm{\infty }}f(z)=-\underset{\rho \to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2\pi i}\underset{|z|=\rho }{\int }f(z)dz$.

Һәм ул Лоран рәтенең -1 нче коэффициентына тигез:

${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{\mathrm{\infty }}f(z)=-c_{-1}$.

Логарифмик чигереш

$f(z)$ функциясенең  $L$.контурына карата логарифмик чигереше түбәндәге интеграл атала:

$\frac{1}{2\pi i}\underset{L}{\oint }\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz$

Исәпләү

• Алынучан махсус ноктада чигереш нульга тигез, ләкин чиксезлектә бу дөрес түгел. Мәсәлән:

$f(z)=\frac{1}{z}$

${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{\mathrm{\infty }}\frac{1}{z}=-1$

$\frac{dz}{z}$ нульда һәм чиксезлектз махсус нокталарына ия

• $n$ дәрзҗәле $a$ ноктасында чигереш болай исәпләнә:

${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{a}f(z)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{z\to a}{\lim }\frac{d^{(n-1)}}{d{z}^{(n-1)}}[(z-a{)}^{n}f(z)]$,

аерым очрак: $n=1$

${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{a}f(z)=\underset{z\to a}{\lim }(z-a)f(z)$.

• Әгәр $f(z)=\frac{g(z)}{h(z)}$ $a$ ноктасында гади котыпка ия икән чигереш гадирәк исәпләп була:

${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{a}f(z)=\frac{g(a)}{h^{\prime }(a)}$.

• Махсус аерым нокталар өчен Лоран рәте кулланыла:. Мәсәлән, ${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_0{e}^{1/z}={\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_0(1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2!z^2}+\dots )=1$

Чигерешләр теоремасы

Әгәр $f$ функциясе ниндидер йомык $\bar{G}\subset ℂ$ өлкәсендә аналитик булса, ләкин кайбер $a_1,a_2,\dots ,a_n$ махсус нокталарында функция аналитик булмый, шул очракта түбәндәге тигезләмә үтәлә:

$\underset{\partial G}{\int }f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^n{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{z=a_k}f(z)$,

биредә ${\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{z=a_k}f$  —  

$a_k$ ноктасында $f$ функциясенең чигереше

Нәкъ әлеге теорема ярдәмендә катлаулы интеграллар табып була.

Мәсәлән:

Интеграл табу контуры.

Интеграл

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{itx}}{x^2+1}dx$

$\underset{C}{\int }f(z)dz=\underset{C}{\int }\frac{e^{itz}}{z^2+1}dz.$

$\frac{e^{itz}}{z^2+1}$	$=\frac{e^{itz}}{2i}(\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i})$
	$=\frac{e^{itz}}{2i(z-i)}-\frac{e^{itz}}{2i(z+i)},$

Чигереш:

${\mathrm{res}}_{z=i}f(z)=\frac{e^{-t}}{2i}.$

$\underset{C}{\int }f(z)dz=2\pi i{\mathrm{res}}_{z=i}f(z)=2\pi i\frac{e^{-t}}{2i}=\pi e^{-t}.$

$\underset{\text{straight}}{\int }+\underset{\text{arc}}{\int }=\pi e^{-t}.$

$\underset{-a}{\overset{a}{\int }}=\pi e^{-t}-\underset{\text{arc}}{\int }.$

$\underset{\text{arc}}{\int }\frac{e^{itz}}{z^2+1}dz\to 0;a\to \mathrm{\infty }.$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{itz}}{z^2+1}dz=\pi e^{-t}.$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{itz}}{z^2+1}dz=\pi e^t,$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{itz}}{z^2+1}dz=\pi e^{-\left|t\right|}.$

Бу интеграл ихтималлык теориясендә бик мөһим була һәм тик чигерешләр ярдәмендә исәпләнә.

Тригонометрик функциядән билгеләнгән интеграл табу

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}R(\sin \phi ;\cos \phi )d\phi$ төрендәге функциядән интеграл табу өчен Эйлер тигезләмәсе $z=e^{i\phi }$ кулланып исәпләргә була:

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}R(\sin \phi ,\cos \phi )d\phi =2\pi i\sum {\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{z=z_k}R(z)$.

Чиксез өлкәдә интеграл табу

Чигерешләр ярдәмендә чиксез өлкәләге интеграл табу өчен түбәндәге тигезләмәләр кулланыла:

1. $\underset{z\to \mathrm{\infty }}{\lim }zf(z)=0$ өчен

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=2\pi i\sum _{k=1}^n{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{z=z_k}f(z)$.

2. $\underset{z\to \mathrm{\infty }}{\lim }zf(z)=0$ һәм $\alpha >0$ өчен

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{i\alpha x}dx=2\pi i\sum _{k=1}^n{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{z=z_k}f(z)e^{i\alpha z}$

Әдәбият

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.