Риман зета-функциясе

Риман зета-функциясе. Нульдән сул ягында функция 100 тапкырда зурайтылган

Риман зета-функциясе — $s=\sigma +it$ ($\sigma >1$) комплекс үзгәрмә зурлыгыннан $\zeta (s)$ функциясе Дирихле рәте белән билгеләнә:

$\zeta (s)=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\dots ,$

биредә $s\in ℂ$.

$\sigma >1(\{s\mid \mathrm{Re}s>1\})$ өлкәсендә әлеге рәт җыела һәм аналитик функциясе була.

Риман зета-функциясе чын саннар s > 1 өчен

Эйлер бердәйлеге

Әлеге өлкәдә Эйлер бердәйлеге үтәлә:

$\zeta (s)=\prod _p\frac{1}{1-p^{-s}}$ ,

тапкырчыгыш $p$ - гади саннар буенча алына

Үзлекләре

Зета функциясен исәпләү өчен берничә үзлекләр бар:

Риман зета-функциясе комплекс яссылыкта

• $2\zeta (2m)=(-1{)}^{m+1}\frac{(2\pi {)}^{2m}}{(2m)!}{B}_{2m}$, биредә $B_{2m}$ — Бернулли саннары.

Мәсәлән $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6},\zeta (3)=-\frac{{\psi }^{(2)}(1)}{2},\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90},\zeta (6)=\frac{{\pi }^6}{945},\zeta (8)=\frac{{\pi }^8}{9450}$ ,

биедә $\psi$ - полигамма -функция;

• $\mathrm{Re}s>1$ өчен:
  • $\frac{1}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}$, где $\mu (n)$ — Мөбиус функциясе
  • $\frac{\zeta (2s)}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\lambda (n)}{n^s}$, биредә $\lambda (n)$ — Лиувил функциясе
  • ${\zeta }^2(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\tau (n)}{n^s}$, биредә $\tau (n)$ — $n$ санының бүлүчеләр саны
  • $\frac{\zeta (s)}{\zeta (2s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{|\mu (n)|}{n^s}$
  • $\frac{{\zeta }^2(s)}{\zeta (2s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{\nu (n)}}{n^s}$, биредә $\nu (n)$ — $n$ санының бүлүчеләр саны
  • $\frac{{\zeta }^3(s)}{\zeta (2s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\tau (n^2)}{n^s}$
  • $\frac{{\zeta }^4(s)}{\zeta (2s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\tau (n){)}^2}{n^s}$
• $\zeta (s)$ $s=1$ ноктасында котыпка ия һәм чигереше 1 тигез
• $s\ne 0,s\ne 1$ өчен

  $\zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(1-s)\zeta (1-s)$,

биредә $\mathrm{\Gamma }(z)$ — Эйлер гамма-функциясе.

• функция өчен

  $\xi (s)=\frac{1}{2}{\pi }^{-s/2}s(s-1)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s)$,

$\zeta (s)$ кси-функция, :

$\xi (s)=\xi (1-s)$.

Әдәбият

• Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешённая проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2..
• Тахтаджян Л.А. Квантовая механика для математиков / Перевод с английского к.ф.-м.н. С.А. Славнов. — Изд. 2-е. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. — 496 с. — ISBN 978-5-93972-900-0.