Яссылык (математика) исемле битнең чыганагын карау

[[Файл:PlaneIntersection.png|right|thumb|Ике кисешүче яссылык]]
'''Яссылы́к''' — [[геометрия]]нең төп төшенчәләреннән берсе. Геометрияне систематик рәвештә аңлатканда, яссылык төшенчәсен беренчел төшенчә буларак кулланалар. Яссылык тигезләмәсе беренче тапкыр [[Клеро, Алекси Клод|А. К. Клеро]] хезмәтләрендә ([[1731]]), яссылыкның турылар аша бирелгән тигезләмәсе [[Ламе, Габриэль|Г.Ламеда]] очрый ([[1816]]—[[1818]]), нормаль тигезләмәне [[Гессе, Людвиг Отто|Л. О. Гессе]] кертә ([[1861]]).

== Яссылыкның төп үзлекләренең кайберләре ==

* Яссылык — үзенең ике теләсә нинди ноктасын тоташтыручы бөтен кисемтәләрне үз эченә алган өслек;
* Яссылык — ике бирелгән ноктадан тигез ераклыкта урнашкан нокталар күплеге.

[[Кисемтә]] һәм [[интервал (геометрия)|интервалга]] ошатып, кырый нокталарга ия булмаган яссылыкны интерваль яки ачык яссылык дип атарга мөмкин.

== Яссылык тигезләмәләре ==

'''Яссылык''' — беренче дәрәҗәдәге алгебраик өслек: [[декарт координаталар системасы]]нда яссылык беренче дәрәҗәдәге [[тигезләмә]] белән бирелергә мөмкин.

* '''Яссылыкның гомуми (тулы) тигезләмәсе'''

: <math>Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)</math>

монда <math>A,B,C</math> һәм <math>D</math> — даимиләр, шунда ук <math>A,B</math> һәм <math>C</math> бер үк вакытта нульгә тигез түгелләр; [[вектор]]лы формада:

: <math>(\mathbf{r},\mathbf{N})+D=0</math>

монда <math>\mathbf{r}</math> — <math>M(x,y,z)</math> ноктасының радиус-векторы, <math>\mathbf{N}=(A,B,C)</math> векторы яссылыкка перпендикуляр (нормаль вектор). '' <math>\mathbf{N}</math> векторының ''юнәлтүче [[косинус]]лары'':
: <math>\cos \alpha = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},</math>
: <math>\cos \beta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},</math>
: <math>\cos \gamma = \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.</math>

Әгәр Я. тигезләмәсендә берәр коэффициент нульгә тигез булса, тигезләмәне ''тулы булмаган'' дип атыйлар. 
<math>D=0</math> булганда, Я. [[координаталар башлангычы]] аша үтә, <math>A=0</math> (яки <math>B=0</math>, <math>C=0</math>) булган вакытта, Я. <math>Ox</math> күчәренә параллель (аналогия буенча <math>Oy</math> яки <math>Oz</math> күчәрләренә).<math>A=B=0</math> (<math>A=C=0</math>, яки <math>B=C=0</math>) булган вакытта, Я. <math>Oxy</math> яссылыгына параллель (аналогия буенча <math>Oxz</math> яки <math>Oyz</math> яссылыкларына).

* '''Кисемтәләр аша яссылык тигезләмәсе:'''

: <math>\frac{x}{a}+ \frac{y}{b}+ \frac{z}{c}=1,</math>

монда <math>a=-D/A</math>, <math>b=-D/B</math>, <math>c=-D/C</math> — <math>Ox, Oy</math> һәм <math>Oz</math> күчәрләрендә Я. белән кисешә торган кисемтәләр.

* <math>M(x_0,y_0,z_0)</math> '''ноктасы аша,''' <math>\mathbf{N}(A,B,C)</math> '''нормаль векторына перпендикуляр рәвештә үтүче яссылык тигезләмәсе''':

: <math>A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0;</math>

векторлы формада:

: <math>((\mathbf{r}-\mathbf{r_0}),\mathbf{N})=0.</math>

* '''Бер турыда ятмаучы''' <math>M(x_i,y_i,z_i)</math> '''өч нокта аша үтүче яссылык тигезләмәсе''':

: <math>((\mathbf{r}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_2}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_3}-\mathbf{r_1}))=0</math>

(векторларның кушма тапкырчыгышы), ягъни

: <math>\left| \begin{matrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\ x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\\ \end{matrix}\right|=0.</math>

* '''Яссылыкның нормаль (нормага китерелгән) тигезләмәсе'''

: <math>x \cos \alpha+ y \cos \beta+ z \cos \gamma - p=0 \qquad (2)</math>

векторлы формада:

: <math>(\mathbf{r},\mathbf{N^0})\mathbf{-p}=0,</math>

монда <math>\mathbf{N^0}</math>- берле вектор, <math>p</math> — яссылыкның координаталар башлангычыннан ераклыгы. (2) тигезләмәсе (1) тигезләмәсеннән, түбәндәге нормалаштыручы тапкырлаучыга тапкырлап, табылырга мөмкин:

: <math>\mu = \pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}</math>

(<math>\mu</math> һәм <math>D</math> тамгалары капма-каршылар).

== Ноктадан яссылыкка кадәр ераклык ==

Ноктадан яссылыкка кадәр ераклык — әлеге ноктадан яссылык нокталарына кадәр иң кечкенә ераклык. Ноктадан яссылыкка кадәр [[ераклык]] шул ноктадан яссылыкка төшерелгән перпендикуляр озынлыгына тигез икәнлеге билгеле.

* <math>M_1(x_1,y_1,z_1)</math> '''ноктасының''' <math>(2)</math> нормаль тигезләмә белән бирелгән яссылыктан '''тайпылышы''' 
<center><math>\delta = x_1 \cos \alpha + y_1 \cos \beta + z_1 \cos \gamma - p;</math></center>
:: <math>\delta>0</math>, әгәр <math>M_i</math> һәм координаталар башлангычы яссылыктан төрле якта урнашкан булсалар, башка очракта <math>\delta<0</math>. Ноктадан яссылыккача ераклык <math>|\delta|.</math> тигез.
* <math>M_0(x_0, y_0, z_0)</math> ноктасыннан, <math>ax+by+cz+d=0</math> тигезләмәсе белән бирелгән яссылыкка кадәр <math>\rho</math> ераклыгы түбәндәге формула буенча исәпләнә:
<center><math>\rho = \frac{\mid ax_0+by_0+cz_0+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math></center>

== Параллель яссылыклар арасындагы ераклык ==

* <math>Ax+By+Cz+D_1</math> һәм <math>Ax+By+Cz+D_2</math> тигезләмәләре аша бирелгән яссылыклар арасындагы ераклык:
<center><math>d=\frac{\mid D_2-D_1\mid}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}</math></center>
* <math>\bar n (\bar r - \bar{r_1})=0</math> һәм <math>\bar n (\bar r - \bar{r_2})=0</math> тигезләмәләре аша бирелгән яссылыклар арасындагы ераклык:
<center><math>d=\frac{\mid[\bar r_2 - \bar r_1, \bar n]\mid}{\mid\bar n\mid}</math></center>

== Бәйләнгән төшенчәләр ==

* '''Ике яссылык арасындагы почмак.''' Әгәр яссылык тигезләмәсе (1) төрендә бирелгән булса:

: <math>\cos \varphi = \frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{(A_1^2+B_1^2+C_1^2) (A_2^2+B_2^2+C_2^2)}};</math>

Векторлы формада:

: <math>\cos \varphi = \frac{(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})}{|\mathbf{N_1}||\mathbf{N_2}|}.</math>

* Түбәндәге шарт үтәлгәндә '''[[Яссылыкларның параллельлеге|Яссылыклар параллель]]''':

: <math>\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}</math> яки <math>[\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2}]=0.</math>

* Түбәндәге шарт үтәлгәндә '''Яссылыклар үзара перпендикуляр''':

: <math>A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0</math> яки <math>(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})=0</math>.

* '''Яссылыклар бәйләме''' — ике яссылыкның кисешү юлы аша үтүче теләсә нинди яссылыкның тигезләмәсе:

: <math>\alpha (A_1x+B_1y+C_1z)+\beta(A_2x+B_2y+C_2z)=0,</math>

монда <math>\alpha</math> һәм <math>\beta</math> — бер үк вакытта нульгә тигез булмаган теләсә нинди саннар.

== Дүртүлчәмле киңлектә яссылык тигезләмәләре ==

Әгәр дүртүлчәмле киңлектә ике яссылык бер [[гиперъяссылык]]та ятсалар, алар параллель (аерым очракта туры килергә), яисә юл линия буенча кисешергә мөмкиннәр.

Әгәр дүртүлчәмле киңлектә ике яссылык бер [[гиперъяссылык]]та ятмасалар, алар я кисешмиләр (өчүлчәмле киңлектә турылар кисешкән кебек), я ''бердәнбер уртак ноктага ияләр''.

Ике яссылыкның бер ноктада (өчүлчәмле киңлектәге кебек, линия буенча түгел) кисешүләрен түбәндәгечә күрсәтергә мөмкин. ''x y z t'' [[Турыпочмаклы координаталар системасы|декарт координаталары]] системасы бирелгән булсын. Ике α һәм β яссылыклары координаталар башлангычы аша үтсеннәр, һәм α ''x'' һәм ''y'' координаталы турыларга, ә β яссылыгы ''z'' һәм ''t'' координаталы турыларга ия булсын. α яссылыгының бөтен нокталарында ''z'' һәм ''t'' нульгә тигезләр, β яссылыгының бөтен нокталарында ''x'' һәм ''y''. Шул очракта, (0,0,0,0) ноктасының гына ике яссылыкка керүе күренә.

== Чыганак ==
[http://ru.wikipedia.org/wiki/Плоскость_(математика) Рус википедиясе]

[[Төркем:Евклид геометриясе]]
[[Төркем:Аксиоматик төшенчәләр]]