Чиксезлек исемле битнең чыганагын карау

{{Билге|<math> \infty </math>}}'''Чиксезлек''' — [[математика]]да, [[фәлсәфә]]дә һәм [[табигать фәннәре]]ндә кулланылучы концепция. Берәр төшенчәнең яки сыйфатның чиксез булуы аның чикләрен күрсәтүдә яки микъдари үлчәмен билгеләүдә кыенсынуны яки мөмкинчелек булмауны аңлата. Бу төшенчәнең төгәл мәгънәсе аның кулланылу өлкәсенә карап төрлечә була. 

== Чиксезлек [[мәдәният]]тә һәм [[фәлсәфә]]дә ==

== Чиксезлек математикада ==
[[Рәсем: Infinite.svg|right|thumb|150px|Чиксезлек тамгасы]]
'''Чиксезлек''' — чикләрен билгеләү яки сан микъдарын күрсәтү мөмкин булмаган, чиксез, иге-чиге булмаган, ахырсыз предметларны һәм күренешләрне сыйфатландыру өчен кулланылган фикерләү категориясе. Чикле, исәпләнә торган, чиге булган дигәнгә капма-каршы кулланыла. [[Математика]]да, [[логика]]да һәм [[фәлсәфә]]дә даими тикшерелә, шулай ук [[психология]]дә, [[теология]]дә, [[физика]]да шуңа ярашлы рәвештә чиксезлекне аңлау, статусы һәм табигате турында мәсьәләләр өйрәнелә.
Тарихи чиксезлекнең беренче проблемалары — пространство һәм вакытның чиклелек мәсьәләләре, дөньяда әйберләр саны, катлаулырак проблемалар — [[Континуум (күплекләр теориясе)|континуумны]] чиксез бүлү мөмкинлеге, чиксез объектлар белән эш итү мөмкинлеге - ''актуаль чиксезлек'' проблемасы, чиксез бәләкәй зурлыкларның — инфинитезимальләрнең табигате һәм үзләрен тотышы, төрле төрдәге чиксезлекләрнең булуы һәм алар арасындагы нисбәт. Математик [[күплекләр теориясе]]ндә чиксезлекне тирәнрәк тикшеренә башлыйлар, анда берничә чиксез объектларның төрле төрләрен үлчәү системалары төзелә, ләкин өстәлмә ясалма чикләүләрсез мондый төзүләр [[Күплекләр теориясе парадокслары|күп сандагы парадокслар]] тудыра, аларны җиңеп чыгу юллары, теоретик-күплекле төзүләрнең, аларның нәтиҗәләренең һәм альтернативаларының статусы хәзерге заман фәйләсуфларның тикшеренүләренең төп юнәлешләре булып тора.
[[Файл:David Gerstein - Infinity Rally.jpg|мини|{{не переведено 2|Герштейн, Дуду|Давид (Дуду) Герштейн|he|דוד גרשטיין}}. Чиксез ралли]]

== Төп төшенчәләр ==
=== Потенциаль һәм актуаль чикһезлек ===<!-- используется для перенаправлений [[Актуальная бесконечность]], [[потенциальная бесконечность]]-->
Чиксезлек ниндидер процессның чикләнмәгәнлеге итеп каралырга мөмкин, мәсәлән, [[Евклидның башлангычлары#Беренче китап|Евклидның икенче постулатында]] теләсә нинди туры сызыкны чиксез һәм өзлексез дәвам итү мөмкинлеге расланганда, процессны өзлексез дәвам итәргә мөмкин булуы күз уңында тотыла, ләкин андый чиксез туры сызык кебек үз алды объектның булуы аннан килеп чыкмый. Шундый төрдәге процессларны һәм аларны тасвирлаучы объектлар җыелмасын, '''потенциаль чиксезлек''' дип сыйфатландыралар. ([[Схоластика]]да «''синкатегорематик чиксезлек''» термины кулланыла), чиксез предметларны һәм күренешләрне күз уңында тотмый, чиксез процессның һәр фазасында тик чикле субъектлар гына карала, ягъни ул тик чиклене өлөшләтә генә инкарь итү булып тора.
Альтернативасы булып '''актуаль чиксезлек''' (схоластикада — «''категорематик чиксезлек''») төшенчәсе тора, ул чикле исәпләп булмаган объектларны бирелгән, реаль булган, әммә бүленмәс һәм бер бөтен, аларга таянып эш итергә мөмкин тип исәпләүне аңлата. Бу юнәлештә чиксезлек актуаль — чиклене турыдан-туры һәм тулысынча инкарь итү буларак — мистиклар тарафыннан төрле дини категорияләрне сыйфатландыру өчен кулланыла, хәзерге заман математиклары актуаль чиксез күплекләр һәм актуаль чиксез үлчәмле пространстволар белән эш итәләр. Фәлсәфәдә, теологияда, логикада, математикада, табигый фәндә фактик чиксезлекнең рөхсәт ителгәнлеге һәм эчтәлеге турындагы фикерләр мәсьәләне караган бөтен вакыт дәвамында сизелерлек үзгәрә.

=== Сыйфат һәм сан ягыннан чиксезлек ===
Сыйфат ягыннан чиксезлек — объектлар һәм күренешләр бәйләнешенең гомуми, бетмәс, универсаль табигатен билгеләүче категория<ref name="БСЭ">{{БСЭ3 | автор= И. С. Алексеев| Бесконечность в философии|3}}</ref>, [[Абсолют (философия)|Абсолют]], [[Космос (философия)|Космос]], [[Ходай]], [[Плотин#Единое, Ум, Мировая душа|Акыл]] һәм башка категорияләр төрле фәлсәфәви мәктәпләрдә төрле вакытларда сыйфат ягыннан чиксезлек дип каралалар.
Сан ягыннан чиксезлек чикле зурлыклар белән үлчәү мөмкин булмаган процессларны һәм объектларны сыйфатландыра. Математиклар, мәсәлән, чиксез рәтләрнең хасиятләрен, чиксез үлчәмле пространстволарны, чиксез сандагы элементларны булган күплекләрне өйрәнгәндә сан ягыннан чиксезлек төшенчәсе белән эш итәләр; логикада һәм фәлсәфәдә сан ягыннан чиксезлек төшенчәсе белән эш итү мөмкинлекләре һәм чикләүләр өйрәнелә.
=== Континуум ===
[[Континуум (философия)|Континуум]] ({{lang-la|continuum}}) — объектларның компонент өлешләргә чиксез бүленү мөмкинлеге һәм бу процессның потенциаль чиксезлеге мәгънәсендә өзлексезлек, бөтенлек идеясенә караган чиксезлек формасы. Континуальлек [[Дискретлык|дискретлыкка]], өзеклеккә, бүленмәс (атомар) компонентларның булуына капма-каршы куеа. Санлы күчәрнең кисәкләре ([[Континуум (күплекләр теориясе)|континуум күплекләр теориясендә]]), ниндидер мәгънәдә санлы күчәрнең кисәкләре белән охшаш, чикләнгән һәм [[Сепарабелле пространство|аерып алынмалы]] пространстволарның билгеле бер төре ([[Континуум (топология)|топологиядә континуум]]) континуумны гәүдәләндерә. Континуумның чиксез бүленүчәнлек үзлекләрен өйрәнү нигезендә математикада [[Өзлексезлек (математика)|өзлексезлек]] төшөнчәсе кертелә. Континуумның [[онтология|онтологик]] табигате, [[табигать фәне]]ндә континуумның статус турында мәсьәләләр [[антиклык]] заманнарынан башлап философларның бик күп хезмәтләрендә чагылыш таба<ref>{{книга
|автор = Катасонов В. Н.
|часть = Непрерывность и прерывистость
|заглавие = Новая философская энциклопедия
|ссылка часть = http://iph.ras.ru/elib/2059.html
|издание = 2-е изд., испр. и дополн.
|место = М.
|издательство = Мысль
|год = 2010
|том = 2
|страницы =
|страниц = 2816
|тираж = 5000
|isbn = 978-5-244-01115-9
}}</ref>.
=== Инфинитезималь ===
Инфинитезимальләр — зурлыкларның дәвамлы кимүе белән сыйфатландырылган потенциаль чиксез процессларда, атап әйткәндә, континуумны компонент өлөшләргә бүлгәндә, кимүче санлы дәвамлылыкларда, кайсы бердә Галәмнең я аңның атом төзелеше турында тәгълимәттә катнашкан чиксез бәләкәй зурлыклар. [[Исаак Ньютон]] һәм [[Готфрид Лейбниц]] тарафыннан чиксез бәләкәйләр исәпләмәсендә булдырылган инфинитезимальләрнең математик тасвирламасы [[математик анализ]]ның нигезе булып тора.
== Математикада ==
=== Саннар теориясе ===
Чиксезлек турындагы иртә фикерләрнең төп чыганакларның берсе булып [[натураль саннар]] һәм [[Натураль рәт|натураль рәтнең]] потенциаль чиксезлеге тора. Чиксезлек турында саннар теориясендә күп булмаган нәтиҗәләрнең берсе дип [[Евклид]]ның "[[Евклид башлангычлары|Башлангычлар"ында]] [[гади сан]]нар күплегенең чиксезлеген [[киресеннән чыгып исбатлау]] исәпләнә<ref>Книга IX, утверждение 20</ref>: әгәр гади саннар күплеге чикле дип уйлаганда, берәмлек һәм бу күплектәге бөтен гади саннарның тапкырламасы суммасына тигез булган сан бу саннарның берсенә дә бүленми, ләкин ул чакта бу сан я үзе гади сан булып тора, яки баштагы күплеккә кермәгән ниндидер гади санга бүленә; ләкин боларның икесе дә баштагы шартларга каршы килә. Чиксезлек турында теоретик-санлы фикер йөртү [[Галилей парадоксы]]н тудыра: һәр санга аның [[Квадрат (сан)|квадраты]] ярашлы куелырга мөмкин, ягъни, квадратлар бөтен саннардан ким түгел, шуның белән бергә һәр саннан квадрат тамыр алып булмый, ягъни, квадратлар — бөтен саннар күплегенең бер өлөше генә.
Саннар теориясендә актуаль чиксезлекнең нинди дә булса абстракциясен куллану таләп ителми, шулай булуга карамастан, аның күп мәсьәләләре чиксезлек шарты формулировкасы белән бәйле, мәсәлән, 2019 елга карата, бирелгән сан модульләре буенча [[Алынма тамыр (саннар теориясе)|алынма тамыр]] булып торган гади саннар күплегенең чиксезлеге ([[Артин гипотезасы]]), [[гади игезәк-саннар]] күплегенең чиксезлеге, һәр җөп сан өчен аермалары бу санга тигез булган күрше гади саннар парлары күплегенең чиксезлеге ([[Полиньяк гипотезасы]]), [[камил саннар]] күплегенең чиксезлеге турында мәсьәләләр [[Ачык математик проблемалар|ачык проблемалар]] булып торалар.

=== Чиксез рәтләр ===
[[Файл:Archimedes Parabola.png|thumb|Архимед параболасы]]
Чиксез [[Санлы рәт|рәтне]] куллануның беренче дәлиле [[Архимед]]ның "Парабола квадратурасы"нда күренә, анда [[туры сызык]] һәм [[парабола]] арасындыгы сегментның һәм аның белән нигезе шул ук һәм биеклеге тигез булган [[өчпочмак]]ның мәйданнарының нисбәте 4:3 дигән раслауны исбатлау өчен ул [[Рәт суммасы|чиксез рәтнең суммасын исәпләп чыгара]]:
: <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{4^n} = 1 + \frac{1}{4^1} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \cdots = {4 \over 3} </math>,
һәм азак нәтиҗәне [[киресенән чыгып исбатлау]] ысулы белән киредән тикшерә<ref name="Паплаускас-1">{{статья
 |автор         = Паплаускас А. Б.
 |заглавие      = Доньютоновский период развития бесконечных рядов. I
 |ссылка        = 
 |язык          = ru
 |автор издания = Юшкевич А. П. (отв. редактор)
 |издание       = [[Историко-математические исследования]]
 |тип           = 
 |место         = М.
 |издательство  = [[Наука (издательство)|Наука]]
 |год           = 1973
 |том           = XVIII
 |страницы      = 104—131
 |тираж         = 1900
}}</ref>.
1340-чы елларда [[Суайнсхед, Ричард|Суайнсхед]] беренче тапкыр гади кими баручы [[геометрик прогрессия]] булмаган чиксез рәтнең суммасын таба:
: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \frac{4}{2^4} +\cdots = 2</math>.
Шулай ук XIV гасырда [[Орем, Николай|Орем]] чиксез рәтләр белән эшли, ачык геометрик исбатлаулар кулланып, ул сирәк санлы рәтләрнең ярыйсы ук суммасын таба, чиксез геометрик прогрессия суммасының формуласын (исбатламыйча) таба һәм [[Гармоник рәт|гармоник рәтнең]] таралучанлыгын [[Гармоник рәт#Орем иҫбатлауы|исбатлый]]<ref name="Паплаускас-1"/>.
XVI гасырда, Оремның нәтиҗәләрен кулланып, Томаш Алваруш катлаулы законнар белән төзелгән кайсыбер чиксез прогрессияларның суммасын таба<ref name="Паплаускас-1"/>. Һиндстанда XV гасырда [[Тригонометрик функциялар|тригонометрик функцияларның]] [[Тейлор рәте|чиксез дәрәҗәле рәтләргә]] таркалмасы табыла<ref name="Паплаускас-1"/>, [[Сангамаграмадан Мадхава]] иң күп өлеш кертә<ref name="dani">{{статья| заглавие = Ancient Indian Mathematics – A Conspectus | автор = Dani S. G. |издание = Resonance |том = 17 | номер =3 |год =2012 |страницы=236—246}}</ref>.

[[Менголи, Пьетро|Менголи]] [[1650 ел]]да басылып чыккан трактатында рәтләрнең күп кенә мөһим үзенчәлекләрен ачыклый, рәт калдыгы төшенчәсе кертә, шулай итеп төгәл билгеле булмаган рәтләрне бөтен объектлар итеп карый, шулай ук гомумиләштерелгән гармоник рәтнең таралучанлыгын исбатлый<ref name="Паплаускас-2">{{статья
 |автор         = Паплаускас А. Б.
 |заглавие      = Доньютоновский период развития бесконечных рядов. II. Пьетро Менголи
 |ссылка        =
 |язык          = ru
 |автор издания = Юшкевич А. П. (отв. редактор)
 |издание       = Историко-математические исследования
 |тип           =
 |место         = М.
 |издательство  = Наука
 |год           = 1974
 |том           = XIX
 |страницы      = 143—157
 |тираж         = 1900
}}</ref>. [[Меркатор, Николас|Меркатор]] [[1668 ел]]да [[логарифм]]ик функциянең [[дәрәҗәле рәт]]кә таркалмасын<ref name="Паплаускас-3">{{статья
 |автор         = Паплаускас А. Б.
 |заглавие      = Доньютоновский период развития бесконечных рядов. III
 |ссылка        =
 |язык          = ru
 |автор издания = Юшкевич А. П. (отв. редактор)
 |издание       = Историко-математические исследования
 |тип           =
 |место         = М.
 |издательство  = Наука
 |год           = 1975
 |том           = XX
 |страницы      = 257—281
 |тираж         = 2100
}}</ref>, ә [[1667 ел]]да [[Грегори, Джеймс|Грегори]] — [[Тригонометрик функциялар|тригонометрик функцияларның]] таркалмасын ача, һәм, азак килеп, [[Тейлор, Брук|Тейлор]], Меркаторның, Грегориның, шулай ук [[Ньютон, Исаак|Ньютонның]] нәтиҗәләрен гомумиләштереп, [[1715 ел]]да теләсә нинди [[аналитик функция]]не бирелгән ноктада чиксез рәткә таркатырга мөмкин булуын күрсәтә, шуның белән функцияларның киң классының кыйммәтләрен чиксез сумма итеп күрсәтү мөмкинлеген ачыклый.

=== Чиксез бәләкәйләр исәпләмәсе ===
Антиклык чорыннан билгеле булган [[файдаланып бетү ысулы]], һәм [[Кавальери, Бонавентура|Кавальери]] тарафыннан 1635 елда формулировкаланган [[бүленмәүчеләр ысулы]] ниндидер дәрәҗәдә чиксез бәләкәй зурлыклар мәгълүматын куллансалар да, иң элек башлап [[Валлис, Джон|Валлис]], [[Барроу, Исаак|Барроу]] һәм [[Грегори, Джеймс|Грегори]] XVII гасыр уртасында чиксез бәләкәйләр белән гамәлләрне алгебралаштырырга тырышып карыйлар, ачыктан-ачык инфинитезимальләрне 1680-ынчы елларда бер үк вакытта Ньютон үзенең "флюксий ысулы"нда (чиксез бәләкәй [[Функцияның үсеше|үсешләр]]) һәм Лейбниц ([[Дифференциал (математика)|дифференциалны]] билгеләүче) [[математик абстракция]]лыйлар{{Sfn|Гордон, Кусраев, Кутателадзе|2011|c=10—13}}.
Чиксез бәләкәйләрнең катгый билгеләмәсен [[Чикләнмә (математика)|чикләнмә]], [[Абсолют җыелучанлык|җыелучанлык]] һәм [[өзлексезлек (математика)|өзлексезлек]] төшенчәләрен кулланып XIX гасырда [[Коши, Огюстен Луи|Коши]] һәм [[Вейерштрасс, Карл|Вейерштрасс]] бирә, бу билгеләмәләрдә (ε, δ) иң традицион булып китә (мәсәлән, әгәр теләсә нинди <math>\varepsilon>0</math> өчен, <math>x</math>-тың <math>0 < \left| x - x_0 \right| < \delta</math> шартын кәнәгатьләндергән теләсә нинди кыйммәтендә <math>\left| f \left( x \right) - \alpha \right| < \varepsilon</math> үтәлгән <math>\delta > 0 </math> табылса, Коши буенча <math>\alpha</math> <math>f</math> функциясенең <math>x_0</math> ноктасында чикләнмәсе дип исәпләнә). Чиксез бәләкәйләрнең соңрак бирелгән билгеләмәләрендә [[ноктаның тирә-ягы|тирә-як]] — асык аскүплек <math>\mathbb R</math> ([[Гейне, Эдуард|Гейне]]) техникасы кулланыла, алар табигый рәвештә [[гомуми топология]]да ([[ачык күплек]] төшөнчәсен абстракциялаучы) гомумиләштерелә.
[[Робинсон, Абрахам|Робинсонның]] [[Стандарт булмаган анализ]]ында (1960-ынчы еллар) чиксез бәләкәйләр теләсә нинди <math>n \in \mathbb N</math> өчен <math>1/n</math>-нан зур булмаган гомумиләштерелгән саннар төре сыман кертеләләр, бөтен мондый саннар классы «нуль монадасы» <math>\mu (0)</math> белән актуальләштерелә{{Sfn|Гордон, Кусраев, Кутателадзе|2011|c=26}}.

=== Математик анализ ===
Чиксез бәләкәйләр исәпләмәсе нигезендә төзелгән [[математик анализ]]да ачыктан-ачык [[Чиксез бәләкәй һәм чиксез зур|чиксез зур зурлыклар]] абстракциясе кертелә: [[чын сан]]нар күплегенә [[чиксез ерак нокта (санлы туры сызык)|чиксез ерак нокталар]] символы <math>+\infty</math> һәм <math>-\infty</math> өстәлә (чик кыйммәттәрне һәм җыелучанлыкны билгеләү өчен кулланылган [[киңәйтелгән санлы туры сызык]] <math>\overline{\R} = \{ -\infty\} \cup \R \cup \{ +\infty\} </math>) төзелә. Символлар белән гамәлләр башкарырга мөмкин (монда <math>\alpha</math> — чын сан):
: <math>\pm \infty + \alpha = \pm \infty</math>,
: <math> (+\infty) + (+\infty) = +\infty</math>,
: <math> (-\infty) + (-\infty) = -\infty</math>,
: <math>\pm \infty \cdot 1 = \pm \infty</math>,
: <math>\pm \infty \cdot -1 = \mp \infty</math>,
: <math>\pm \infty \cdot +\infty = \pm \infty</math>,
: <math>\pm \infty \cdot \alpha = \operatorname{sgn}\alpha \cdot \pm{\infty} \, (\alpha \ne 0)</math>,
: <math>\pm \infty \big / \alpha = \operatorname{sgn}\alpha \cdot \pm \infty \, (\alpha \ne 0)</math>,
: <math>\alpha\big / \pm \infty = 0 \, (\alpha \ne \pm \infty)</math>,
: <math>\left ( \left \vert \frac{\alpha }{0} \right \vert = +\infty \right ) \, (\alpha \ne 0 )</math>
: <math>\left ( \left \vert \frac{\pm \infty}{0} \right \vert = +\infty \right ) </math>
әммә кайсыбер чикләүләр белән: билгесезлек ситуациялары туганда
: <math>\left (\pm \infty-\pm \infty \right ), \ \left (\frac{\infty}{\infty} \right ), \ \left (\frac{0}{0} \right ), \ \left (~0^0 \right ), \ \left (1^\infty \right ), \ \left (\infty^0 \right ), \ (0\cdot\infty) ,
\left (\frac{\pm \infty}{0} \right ),
\left (\frac{\alpha}{0} \right ) </math>
Чиксезлек барлыкка килүгә китергән иң соңгы аңлатма нәтиҗәсен ачыклау принцибы буенча [[аныксызлыкны ачу|аныксызлыкларны ачу]] кагыйдәләре кулланыла (мәсәлән, [[Лопиталь кагыйдәсе]]), ягъни, анализда бу мәгънәдә чикке аңлатмаларны язу өчен гомумиләштерелгән кыскарту итеп <math>\pm \infty</math> символлары кулланыла, ләкин тулы кыйммәтле объект буларак түгел (кайсыбер дидактик материалларда чын саннар белән тәртип бәйләнеше белән бәйләнмәгән бер чиксез ерак нокта <math>\pm \infty</math> кулланыла<ref>{{книга
|автор        = Кудрявцев Л. Д.
|заглавие     = Краткий курс математического анализа
|издание      = 3-е изд. перераб.
|место        = М.
|издательство = Физматлит
|год          = 2005
|том          = 1
|страницы     = 19
|страниц      = 400
|isbn         = 5-9221-0184-6
|ref          = Кудрявцев
}}</ref>).
Робинсонның  [[стандарт булмаган анализ]]ында чиксез бәләкәй һәм чиксез зур зурлыклар [[Модельләр теориясы|теоретик-модельле]] чараларны җәлеп итү белән актуальләшәләр, шуның белән бергә, шул аркада стандарт булмаган анализда мәгънәле чаралар һәм исбатлау ысуллары күп очракларда классик ысуллардан отышлы, һәм классик анализда да табылырга мөмкин булган, ләкин күргәзмәлек җитешмәгәнлектән күренмәгән күп кенә яңа нәтиҗәләр алынган<ref>{{Из|МЭ|статья=Нестандартный анализ|автор=[[Драгалин, Альберт Григорьевич|Драгалин А. Г.]]}} <cite>С помощью Н. а. был обнаружен ряд новых фактов. Многие классич. доказательства заметно выигрывают в наглядности при изложении их методами нестандартного анализа</cite></ref>.

=== Проектив геометрия ===
[[Файл:Real projective line.svg|thumb|<math>\infty</math> ноктасы тамгаланган чын [[проектив туры сызык]]]]
Математикада чиксезлек турында фикерне актуальләштерүдә [[Понселе, Жан-Виктор|Понселе]] [[1822 ел]]да төзегән [[проектив геометрия]] мөһим роль уйный, аның төп идеяларының берсе — чиксез еракны «идеаль нокталарга» һәм «идеаль туры сызыкларга» проекциялаганда бору. Шулай, Евклид пространствосында <math>\R^2</math> чиксез яссылыкны проектив яссылыкка <math>\R P^2</math> әйләндерү өчен, параллель туры сызыкларның һәр классы өчен [[идеаль нокта]] өстәргә кирәк, һәм бөтен шундый идеаль нокталар (һәм тик шулар) идеаль туры сызыкка борылалар. Бу төзүләрдә [[Чын сан|чын]] [[проектив туры сызык]] санлы туры сызыкның идеаль нокта белән киңәюе (<math>\R P^1 = \R \cup \{ \infty \}</math>) булып тора.
Шулай ук, анализдагы кебек, алынган чиксезлек белән проектив геометрияда гәмәлләр башкарырга мөмкин (проектив геометрияда, анализдан аермалы рәвештә, чиксезлекнең тамгасы юк, <math>\alpha \in \R</math>):
: <math>\infty \pm \alpha = \infty</math>,
: <math>\infty \cdot \alpha = \infty, \, \alpha \ne 0</math>,
: <math>\infty \cdot \infty  = \infty </math>,
: <math>\alpha \big / \infty = 0</math>,
: <math>\infty \big / \alpha = \infty</math>,
: <math>\alpha \big / 0 = \infty, \, \alpha \ne 0</math>,

шул ук вакытта <math>\infty + \infty, \, \infty - \infty, \, \infty \cdot 0, \, \infty / \infty, \, 0 / 0</math> аңлатмаларының мәгънәсе юк.

[[Файл:Riemann sphere.png|thumb|[[Риман сферасы]] һәм [[комплекслы яссылык]]]]
[[Комплекслы сан]]га геометрик интерпретация биргәндә, [[Риман, Георг Фридрих Бернхард|Риман]] [[1851 ел]]да проектив геометрия ысулларын куллана, һәм <math>\Complex</math> [[Комплекслы яссылык|комплекслы яссылыгы]] өчен <math>\Complex P^1</math> проектив пространствосын — санлы проектив тура сызыкның комплекслы гомумиләштерүен төзи, ул [[Риман сферасы]] буларак билгеле: сфераның полюслары — <math>0</math> һәм <math>\infty</math> нокталары, ә [[стереографик проекция]]се (<math>\infty</math> ноктәсы тишеп алынган) аны [[Комплекслы яссылык|комплекслы яссылыкка]] күчерә. Чиксезлек тамга белән кулланылган чын анализдан аермалы рәвештә, [[комплекслы анализ]]да чиксезлекнең туры килгән проектив формасы (<math>\Complex \cup \{\infty\}</math>) кулланыла.

=== Күплекләр теориясе ===
Математикада чиксезлек турында фикергә төп өлешне [[күплекләр теориясы]] кертә: актуаль чиксезлек һәм чиксезлекнең төрле төрләре идеясе бу теориянең зур өлөшен били.
Чиксезлекнең төрле төрләрен үлчәү өчен күплекләр теориясында [[Күплекнең куәте|куәт]] (кардиналь сан) төшөнсәче кертелә, ул чикле күплекләр өчен элементлар саны белән туры килә, ә чиксез күплекләр өчен [[биекция]] принцибы эшли башлый: әгәр күплекләр арасында үзара-бер мәгънәле ярашлылык урнаштырып булса, алар тигез куәтле. Шулай, <math>\N</math> натураль саннар күплеге бөтен саннар күплеге (<math>\Z</math>), җөп натураль саннар күплеге, бөтен рациональ саннар күплеге (<math>\Q</math>) белән тигез күәтле булып чыга, ә (<math>\mathbb I = [0,1]</math> санлы туры сызык кисәге, континуум{{Переход|#Континуум}}) бөтен санлы туры сызык (<math>\R</math>), шулай ук <math>n</math>-үлчәмле [[Евклид пространствосы]] (<math>\R^n</math>) белән биектив ярашлылыкта булып чыга. Натураль саннар күплегенең һәм аның белән тигез күәтле күплекләрнең ([[Исәпләү күплеге|исәпләү күплекләренең]]) күәте {{Переход|#Обозначения}} <math>\aleph_0</math> дип, ә континуумның күәте — <math>\mathfrak c</math> дип тамгалана. Алга таба, натураль саннарның бөтен аскүплекләре күплеге (<math>2^\N</math>) һәм континуум арасында үз-ара-бер мәънәле ярашлылык бар икәне ачыклана, шулай итеп, <math>\mathfrak c = 2^{\aleph_0}</math>, һәм исәпләү күплеге — бөтен чиксез күплекләрдән күәте буенча иң бәләкәе. [[Континуум-гипотеза]]га ярашлы, <math>\aleph_0</math> һәм <math>\mathfrak c</math> арасында ике пространствосы күәт юк (<math>\mathfrak c = \aleph_1</math>), шулай ук, [[Коэн, Пол Джозеф|Коэн]] [[1962 ел]]да күрсәткәнчә, континуум-гипотезаны да, аның кире кагуын да төп [[күплекләр теориясы аксиоматикасы]]нда исбатлап булмый. [[Гомумиләштерелгән континуум-гипотеза]] бөтен кардиналь саннар <math>2^{\aleph_\alpha}=\aleph_{\alpha+1}</math> бәйләнешенә буйсыналар дип фаразлый, икенче төрле әйткәндә, бөтен мөмкин булган чиксез кардиналь саннар нәкъ натураль саннар күплегенән дәвамлы [[булеан]]лы алу куәтләрен гәүдәләндерәләр: <math>\#\N, \# \mathcal P (\N), \# \mathcal P (\mathcal P (\N)), \dots</math><ref>Иногда для бесконечных кардинальных чисел, представляющих мощность последовательного взятия булеанов от счётного множества используют [[Бет-число|бет-нотацию]] (от второй буквы еврейского алфавита — [[бет (буква еврейского алфавита)|бет]]), в этих обозначениях обобщённая континуум-гипотеза формулируется как <math>\aleph_\alpha = \beth_\alpha</math></ref>.
[[Файл:Omega-exp-omega-labeled.svg|thumb|Рәт саннарын <math>\omega^\omega</math>-га кадәр күрсәтү: спиральнең һәр урамы — <math>\omega</math> дәрәҗә]]
Күплекләр теориясы керткән чиксезлекнең икенче төре — [[тәртип саннары]] (ординаллар), алар белән бәйле [[трансфинитлы индукция]] принцибы белән беррәттән, математиклар, логиклар һәм философлар арасында зур бәхәс тудыралар. Әгәр кардиналь саннар үзара-бер мәгънәле ярашлылыкка карата эквивалентлык классын сыйфатландырсалар, тәртип саны [[Тулыһынча тәртипкә китерелгән күплек|тулысынча тәртипкә китерелгән күплекәр]] өстеннән тулы тәртип бәйләнешен саклаучы биектив ярашлылыкларга карата эквивалентлык классы характеристикасы буларак барлыкка килә. Чикле күплекләр өчен ординал һәм кардинал туры килә, әмма чиксез күплекләр өчен бу һәрчак алай булмый, бер тәртип санындагы бөтен күплекләр тигез куәтле, ә кире раслау гомуми очракта дөрес түгел. Ординалдар натураль рәтне чиксезлектән читтә дәвамлы дәвам итергә мөмкин булырлык итеп төзелә<ref>Такую схему определения предложил [[Фон Нейман, Джон|фон Нейман]] в 1920-е годы, Кантор изначально использовал другой способ</ref>:
: <math> 0 = \varnothing</math>,
: <math> 1 = \varnothing \cup \{0\} = \{\varnothing \}</math>,
: …
: <math> n+1 = n \cup \{n\}</math>,
моннан соң, бөтен чикле тәртип саннары күплеген <math>\omega</math> итеп карап, тәртипкә китерелгән күплекләрне кушу (дәвамлы рәвештә беренче кушылучы, соңыннан икенче кушылучы күплек элементлары буенча аерым берекмәләр өстеннән тәртип кертепп) һәм кабатлау (тулысынча тәртипкә китерелгән күплекләрнең декарт тапкырламасы өстеннән [[лексикографик тәртип]] кулланып) операциялары базасында [[тәртип саннары арифметикасы]] кертелә, һәм процесс башлана:
: <math> \omega + 1 = \omega \cup \{ \omega \}</math>,
: <math> \omega + 2 = (\omega + 1) \cup \{ \omega + 1 \}</math>,
: …
: <math> \omega \cdot 2 = \omega + \omega</math>,
: <math>\omega \cdot 2 + 1</math>,
: …
Алга таба <math>\omega ^2 = \omega \cdot \omega</math>, алга таба — <math>\omega ^3, \dots, \omega ^\omega, \dots, \omega^{\omega^\omega}, \cdots, </math> төзелә, аннан соң — [[Эпсилон саннары (математика)|<math>\varepsilon_0</math>-саннар]]:

: <math>\varepsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^{\cdot^{\cdot^\cdot}}}} = \sup \{ \omega, \omega^{\omega}, \omega^{\omega^{\omega}}, \omega^{\omega^{\omega^\omega}}, \dots \}</math>.
Бөтен исәпләү ординальләр күплегенең (бөтен <math>\omega</math> һәм <math>\varepsilon</math>) куәте исәпләү күплекләр куәте <math>\aleph_0</math>-дән соң килгән <math>\aleph_1</math>-гә тигез булуы исбатланган, алга таба югарырак тәртиптәге ординальләр төзелә. [[Трансфинитлы индукция]] — гомумиләштерелгән [[математик индукция]] принцибы, тәртип саннары идеяларын кулланып, теләсә нинди тулысынча тәртипкә китерелгән күплеккә карата раслаузарны исбат итергә мөмкинлек бирә. [[Бурали-Форти парадоксы]] бөтен тәртип саннары күплеге капма-каршылыклы булуын күрсәтә, ләкин күплекләр теориясенең күп аксиомалаштыруында андый күплекләрне төзү тыелган.

=== Чиксез үлчәмле пространстволар ===
=== Фракталь геометрия ===
 [[Файл:Mandelbrot sequence new.gif|thumb|[[Мандельброт күплеге]] — чиксез үз-үзенә охшаш фрактал гәүдәләнешләрнең берсе]]

== Билгеләнмәсе ==
[[1655 ел]]да [[Джон Валлис]] «Чиксезлек арифметикасы» («Arithmetica Infinitorum sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadraturam, aliaque Difficiliora Matheseos Problemata») исеме астында зур хезмәтен нәшер итә, бу хезмәттә беренче тапкыр үзе үк уйлап чыгарган чиксезлек билгеләнмәсе (∞) килеп чыга.
== Искәрмәләр ==
{{искәрмәләр}}

== Әдәбият ==
* {{книга
 |автор         = [[Николя Бурбаки|Н. Бурбаки]]
 |часть         = Основания математики. Логика. Теория множеств
 |ссылка часть  =
 |заглавие      = Очерки по истории математики
 |оригинал      =
 |ссылка        =
 |викитека      =
 |ответственный = [[Башмакова, Изабелла Григорьевна|И. Г. Башмакова]] (перевод с французского)
 |издание       =
 |место         = М
 |издательство  = Издательство иностранной литературы
 |год           = 1963
 |страницы      = 37—53
 |страниц       = 292
 |серия         = Элементы математики
 |тираж         =
 |ref           = Бурбаки
}}
* {{книга |автор= [[Виленкин, Наум Яковлевич|Виленкин Н. Я.]]
 |заглавие=В поисках бесконечности
 |ссылка=
 |место= М.
 |издательство=Наука
 |год=1983
 |ref = Виленкин
}}
* {{книга
 |автор         = Гордон Е. И., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С.
 |заглавие      = Инфинитезимальный анализ: избранные темы
 |ссылка        =
 |викитека      =
 |ответственный =
 |издание       =
 |место         = М.
 |издательство  = Наука
 |год           = 2011
 |страниц       = 398
 |серия         =
 |isbn          = 978-5-02-036137-9
 |тираж         =
 |ref           = Гордон, Кусраев, Кутателадзе
}}
* {{книга |автор=Грасиан, Энрике.
 |заглавие= Открытие без границ. Бесконечность в математике
 |место=М.
 |издательство=Де Агостини
 |год=2014
 |страниц=144
 |isbn=978-5-9774-0713-7
 |серия=Мир математики: в 45 томах, том 18
 |ref=Энрике Грасиан
}}
* {{книга
 |автор         = Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж.
 |заглавие      = Пути и лабиринты. Очерки по истории математики
 |оригинал      = Routes et dédales
 |ссылка        =
 |викитека      =
 |ответственный = Перевод с французского А. А. Брядинской под редакцией И. Г. Башмаковой
 |место         = М.
 |издательство  = Мир
 |год           = 1986
 |страницы      = 394—402
 |страниц       = 432
 |серия         = Современная математика. Популярная серия
 |тираж         = 50000
 |ref           = Даан-Дальмедико, Пейффер
}}
* {{БРЭ|статья=Бесконечность|id=1861915 |автор=[[Катасонов, Владимир Николаевич|Катасонов В. Н.]]|том=3|страницы=413—415|ref=Катасонов}}
* {{Источник/НФЭ|Бесконечное|[[Катасонов, Владимир Николаевич|Катасонов В. Н.]]|url=https://iphlib.ru/greenstone3/library/collection/newphilenc/document/HASH0140b4612aa2c2c3b235a140}}
* {{книга |автор=[[Клайн, Морис|Клайн М.]] |заглавие=Математика. Утрата определённости |издательство=[[Мир (издательство)|Мир]] |место=М. |год=1984 |страниц=446 | ref = Клайн}}
[[Төркем:Математика]]
[[Төркем:Математика объектлары]]
[[Төркем:Математика билгеләре]]