Позицион исәпләү системасы исемле битнең чыганагын карау

'''Позицион исәпләү системасы''' ('''позицион нумерация''') — санның [[Тамгалау|язылышында]] һәр [[Сан|санлы]] [[Символ|тамганың]] ([[цифрның]]) кыйммәте аның позициясенә ([[Санлы разряд|разрядына]]) бәйле булган [[исәпләү системасы]].
== Тарихы ==
{{также|Төрле халыкларның исәпләү системасы}}
Цифрларның урыны буенча кыйммәтенә нигезләнгән позицион нумерлавы [[шумер]]лар һәм  [[вавилон]]лылар уйлап тапкан дип исәпләнә. Азаккы периодта мондый нумерацияне индуслар үстерәләр һәм [[Цивилизация тарихы|цивилизация  тарихында]] бәяләп бетергесез нәтиҗәләргә киләләр. Мондый системалар исәбенә [[унарлы исәпләү системасы]] керә, аның барлыкка килүе бармаклар белән исәпләүгә бәйле. Урта гасырлар Европасына ул итальян сәүдәгәрләре аша килеп керә, алар үз чиратында Урта Азия халкыннан үзләштергәннәр.
== Билгеләмәләр ==
{{anchor|Исәпләү системасының нигезе}} Позицион исәпләү системасы, исәпләү системасының '''нигезе''' дип аталган бөтен <math>b > 1</math> саны белән билгеләнә. Нигезе <math>b</math> булган исәпләү системасы шулай ук <math>b</math>'''-арлы''' (аерым әйткәндә, ''икеле'', ''өчәрле'', ''унарлы'' һәм башка) исәпләү системасы дип атала.
Тамгасыз <math>x</math> [[бөтен сан]]ы <math>b</math>-арлы исәпләү системасында <math>b</math> саны дәрәҗәләренең чикле [[Сызыкча пространство|сызыкча комбинация]]се рәвешендә күрсәтелә <ref name="Fomin"/>:
: <math>x = \sum_{k=0}^{n-1} a_k b^k</math>, монда <math>\ a_k</math> —   <math>0 \leq a_k \le b-1</math> тигезсезлеген кәнәгатьләндергән, '''цифрлар''' дип аталган бөтен саннар.
Бу язылышта һәр <math>\ b^k</math> [[Сызыкча пространство#Базис. Үлчәнеш|базис элементы]] '''[[Санлы разряд|разряд]]''' ('''позиция''') дип атала, разрядларның һәм аларга ярашлы цифрларның олылыгы разрядның (позициянең) номеры <math>\ k</math> (дәрәҗә күрсәткеченең кыйммәте) белән билгеләнә.
<math>b</math>-арлы исәпләү системасында <math>n</math> позициясе ярдәмендә <math>0</math>-дән <math>b^n-1</math>-гә кадәр  диапазондагы бөтен саннарны язарга мөмкин, ягъни бөтенесе төрле <math>b^n</math> сан.
== Саннарны язу ==
Әгәр төрлечә уку мөмкинлеге тумаса (мәсәлән, бөтен цифрлар да уникаль язма тамгалар рәвешендә күрсәтелгән), <math>\ x</math> саны аның <math>b</math>-арлы цифрлары дәвамлыгы рәвешендә, уңдан сулга карый разрядлары олылыгы кими бару тәртибендә тезеп языла<ref name="Fomin"/>:
: <math>x = a_{n-1} a_{n-2}\dots a_0.</math>
Нульдән аермалы <math>\ x</math> санында баштагы нульләр гадәттә язылмый.

Нигезләре, 36-ны да кертеп, 36-га кадәр булган исәпләү системаларында саннарны язу өчен цифрлар (тамгалар) сыйфатында гарәп цифрлары кулланыла (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) һәм, азак, латин алфавиты хәрефләре (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z). Шуның белән бергә, a = 10, b = 11 һәм башка шулай, [[ISBN|кайсы бергә]] x = 10.
Бер үк вакытта бер ничә исәпләү системасы белән эшләгәндә, аларны аеру өчен гадәттә системаның нигезе астагы индекс рәвешендә күрсәтелә, нигез унарлы системада языла:
: <math>123_{10}</math> — бу 123 саны [[унарлы исәпләү системасы]]нда;
: <math>173_8</math> — шул ук сан [[сигезәрле исәпләү системасы]]нда;
: <math>1111011_2</math> — шул ук сан, ләкин [[икеле исәпләү системасы]]нда;
: <math>0001\ 0010\ 0011_{10} = 000100100011_{BCD}</math> — шул ук сан, ләкин унарлы цифрлары [[Икеле код|икеле кодланган]] [[унарлы исәпләү системасы]]нда ([[BCD]]);
: <math>11120_{3N}</math> — шул ук сан, ләкин симметрик булмаган [[өчәрле исәпләү системасы]]нда;
: <math>1iiii0_{3S} = 177770_{3S} = 122220_{3S} = +----0_{3S}</math> — шул ук сан, ләкин симметрик [[өчәрле исәпләү системасы]]нда, «i», «7», «2» һәм «−» тамгалары «−1»-не аңлата, «1» һәм «+» тамгалары «+1»-не аңлата.
Кайсыбер махсус өлкәләрдә нигезне күрсәтүнең аерым кагыйдәләре кулланыла. Мәсәлән, программалауда алтмышарлы система шулай тамгалана:
* [[ассемблер теле|ассемблерда]] һәм конкрет телгә бәйләнмәгән гомуми төрдәге язуларда, h хәрефе белән ('''h'''exadecimal сүзенән) санның азагында (синтаксис Intel);
* [[Паскаль (программалау теле)|Паскальдә]] «$» тамгасы белән санның алдында;
* [[Си (программалау теле)|Си]] һәм күп башка телләрдә 0x яки 0X комбинациясе белән (he'''x'''adecimal сүзеннән) башта.
Си теленең кайсыбер диалектларында <!-- (мәсәлән, [[Microchip]] фирмасының) --> «0x»-ка охшашлык буенча икеле саннарны тамгалау өчен «0b» префиксы кулланыла («0b» тамгалавы ANSI C стандартына керми).
== Мисаллар ==
* '''2''' — [[икеле исәпләү системасы|икеле]] ([[дискретлы математика|дискретлы математикада]], [[информатика|информатикада]], [[программалау|программалауда]])
* '''3''' — [[өчәрле исәпләү системасы]]
* '''4''' — дүртәрле исәпләү системасы
* '''8''' — [[сигезәрле исәпләү системасы|сигезәрле]] ([[программалау|программалауда]])
* '''10''' — [[унарлы исәпләү системасы]]
* '''12''' — [[уникеле исәпләү системасы|уникеле]] (борын киң кулланылган, кайсы бер аерым өлкәләрдә хәзер зә кулланыла)
* '''16''' — [[уналтылы исәпләү системасы|уналтылы]] (күбрәк [[программалау|программалауда]] кулланыла, шулай ук [[шрифт]]ларда)
* '''20''' — [[егермеле исәпләү системасы|егермеле]] ([[Цифры майя|майя]] һәм [[Ацтектар|ацтекларда]] кулланылган)
* '''40''' — кырыгарлы исәпләү системасы (элек кулланылган: аерып әйткәндә, ''«кырык кырыкын»'' = 1600)
* '''60''' — [[алтмышарлы исәпләү системасы|алтмышарлы]] (Борынгы Вавилонда кулланылган, ә азаграк борынгы грек астрономнары тарафыннан йолдызларның почмакча координаталарын ([[озонлык|озынлыгын]] һәм [[киңлек|киңлеген]]) һәм вакытны үлчәгәндә кулланганнар). Хәзерге көндә дә тәүлек вакытын үлчәүдә кулланыла.
== Үзенчәлекләре ==
Позицион исәпләү системасы берничә үзенчәлеккә ия:
<!-- Из-за нескольких абзацев в последнем пункте -->
* Исәпләү системасының нигезе аның үзендә һәр чак 10 дип языла; мәсәлән, икеле исәпләү системасында 10 2 санын аңлата. Бу раслау [[унар исәпләү системасы]]на кулланыла алмый, анда бер генә цифр кулланыла.
* ''x'' санын ''b''-арлы исәпләү системасында язу өчен <math>\lfloor\log_b x\rfloor + 1</math> цифр таләп ителә, монда <math>\lfloor\cdot\rfloor</math> санның [[бөтен өлеше]]н алуны аңлата.
* Позицион исәпләү системасында язылган саннарны, алдан аларны башта торган нульләр белән бер үк озынлыкка кадәр тигезләгәндә,  разрядлары буенча  чагыштырырга мөмкин. Бу вакытта чагыштыру өлкәнрәк разрядтан бәләкәйрәгенә, бер сандагы цифр икенче сандагы ярашлы цифрдан зуррак булганга кадәр дәвам итә. Мәсәлән, унарлы исәпләү системасында язылган 321 һәм 312 саннарын чагыштыру өчен бер үк разрядлардагы цифрлар сулдан уңга чагыштырыла:
** 3 = 3 — саннарны чагыштыру нәтиҗәсе әлегә билгесез;
** 2 &gt; 1 — беренче сан зуррак (калган цифрларга бәйсез рәвештә).
: Шулай итеп, саннарның позицион исәпләү системасында язылышында, бу язулар  башта торган нульләр белән бер үк озынлыкка кадәр тигезләнгәндә, саннардагы табигый тәртип [[лексикографик тәртип|лексикографик тәртипкә]] ярашлы. 
* Саннар өстендә арифметик гәмәлләр. Позицион исәпләү системасы, тик бер урынлы саннарны [[кушу таблицасы|кушу таблицасын]], ә калган өч гамәл өчен тагын да ярашлы системада [[кабатлау таблицасы|кабатлау таблицасын]] (карагыз, мәсәлән, [[баганалап бүлү]]) белгән хәлдә, бер кыенлыксыз кушу, алу, тапкырлау, бүлү һәм калдыклы бүлү гамәлләрен башкарырга мөмкинлек бирә.
=== Экономиялык ===
{{перевести|en|Radix economy}}
Нигезе <math>b</math> булган исәпләү системасы [[цифрлы техника|цифрлы техникада]], һәр берсе санның цифрларын кодлаучы <math>b</math>  төрле торышта кабул итә алган [[триггер]]лар җыелмасыннан торган [[регистр (цифрлы техника)|регистрлар]] белән тормышка ашырыла. Бу вакытта ''исәпләү системасының экономиялылыгы'' — мөмкин кадәр әз сандагы гомуми тамгалар ярдәмендә мөмкин кадәр күбрәк сандагы саннарны күрсәтү мөмкинлеге — бигрәк тә зур әһәмияткә ия.<ref name="Fomin"/> Әгәр триггерлар саны <math>r</math>-га тигез булса, ул чакта гомуми тамгалар саны <math>m=r\cdot b</math>-га тигез, ә алар ярдәмендә язылырга мөмкин булган саннар саны ярашлы рәвештә — <math>b^r=b^{\frac{m}{b}}</math>. <math>b</math>-дан функция буларак. Бу аңлатма  <math>b</math> [[число е|''e'' = 2,718281828…]] санына тигез булганда үзенең [[Глобаль максимум|максимум]] кыйммәтен кабул итә<ref>{{cite journal|first=Brian|last=Hayes|title=Third base|journal=American Scientist|url=http://www.americanscientist.org/issues/pub/third-base/2|year=2001|volume=89|issue=6|pages=490–494|doi=10.1511/2001.40.3268}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160324100419/http://www.americanscientist.org/issues/pub/2001/11/third-base/2 |date=2016-03-24 }}</ref>, <math>b</math>-ның бөтен кыйммәтләрендә <math>b = 3</math> булганда максимумына ирешә. Шулай итеп, [[өчәрле исәпләү системасы]] ([[Өчәрле компьютер|өчәрле ЭВМ-нарда кулланылган]]) иң экономиялесе була, аның артыннан [[икеле исәпләү системасы]] (гадәттә күпчелек киң таралган ЭВМ-нарда кулланылган) һәм дүртәрле исәпләү системасы килә.
{{цитата|автор=[[Фомин, Сергей Васильевич|С. В. Фомин]]|Исәпләү системасының экономиялелеге, аның исәпләү машинасында кулланылуы күзлегенән караганда, зур әһәмиятле шарт. Шуңа күрә, исәпләү машинасында икеле исәпләү системасы урынына өчәрле исәпләү системасын куллану кайсыбер конструктив кыенлыклар тудыруына карамастан, (Бу вакытта һәр берсе ике түгел, ә өч ныклы торышта тора алган элементлар кулланырга кирәк), Бу система кайсыбер исәпләү корылмаларында кулланылган инде<ref>См. [[Троичный компьютер]].</ref> <ref name="Fomin">{{книга |автор=[[Фомин, Сергей Васильевич|С. В. Фомин]] |заглавие=Системы счисления |серия=[[Популярные лекции по математике]] |год=1987 |место=М. |издательство=Наука |страниц=48 |ссылка=http://plm.mccme.ru/ann/a40.htm}} ([http://www.math.ru/lib/files/plm/v40.djvu альтернативная ссылка])</ref>}}
Исәпләү системасының экономиялелеген эквивалентлы тасуирлауны, [[мәглүмати энтропия]] төшөнчәсен кулланып алырга була. Санның язылышында һәр цифрның күренүенең [[Дискретлы тигез таралу|тигез ихтималлыгы]] шартларында, ''n''-разрядлы санлы нигезе ''b'' булган исәпләү системасында язуның мәглүмати энтропиясе <math>n\tfrac{\ln b}{b}</math> кыйммәтен кабул итә (даими коэффициентка кадәр тәгаенлек белән). Шуңа күрә нигезе ''b'' булган исәпләү системасында саннарның ''язу тыгызлыгы'' (ягъни, бер разрядка мәгълүмат микъдары) <math>\tfrac{\ln b}{b}</math>-га тигез, ул шулай ук иң зур кыйммәтен ''b'' = ''e'' булганда, ә ''b''-ның бөтен кыйммәтләре өчен ''b'' = 3 булганда кабул итә.
== Икенче нигезгә күчү ==
=== Унарлы исәпләү системасына күчерү ===
Әгәр сан <math>b</math>-арлы исәпләү системасында
: <math>a_{n-1}\;a_{n-2}\ldots \;a_1\;a_0</math> тигез булса,
ул чакта аны унарлы исәпләү системасына күчерү өчен шундый сумманы исәплибез:
: <math>\sum_{k=0}^{n-1} a_k\cdot b^k</math>

яки, ачыграк күренештә:
: <math>a_{n-1}\cdot b^{n-1} + a_{n-2} \cdot b^{n-2} + \ldots + a_1 \cdot b^1 + a_0 \cdot b^0,</math>
яки, азак килеп, [[Горнер схемасы]] күренешендә:
: <math>((\ldots(a_{n-1} \cdot b + a_{n-2}) \cdot b + a_{n-3}) \ldots ) \cdot b + a_0.</math>
Мәсәлән:
: 101100<sub>2</sub> =
:: = 1 · 2<sup>5</sup> + 0 · 2<sup>4</sup> + 1 · 2<sup>3</sup> + 1 · 2<sup>2</sup> + 0 · 2<sup>1</sup> + 0 · 2<sup>0</sup> =
:: = 1 · 32 + 0 · 16 + 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 0 · 1 =
:: = 32 + 8 + 4 + 0 = 44<sub>10</sub>
=== Унарлы исәпләү системасыннан күчерү ===
; Бөтен өлеше
# Унарлы санның бөтен өлөшен, унарлы сан нульгә тигез булганга кадәр, дәвамлы итеп нигезгә бүлергә.
# Бүлгәндә табылган калдыклар кирәкле санның цифрлары булып торалар. Яңа системада санны соңгы калдыктан башлап язалар.
; Вакланма өлеше
# Унарлы санның вакланма өлешен күчерергә кирәк булган системаның нигезенә тапкырлыйбыз. Бөтен өлешен аерабыз. Вакланма өлешен яңа системаның нигезенә кабатлауны, ул нульгә тигез булганга кадәр дәвам итәбез.
# Яңа системада санны, кабатлау нәтиҗәсенең табу тәртибендә язылган бөтен өлешләре төзи.
; Мисал
<math>44_{10}</math> санын икеле системага күчерик:
 44-не 2-гә бүләбез. бүлендек 22, калдык 0
 22-не 2-гә бүләбез. бүлендек 11, калдык 0
 11-зе 2-гә бүләбез. бүлендек  5, калдык 1
  5-те 2-гә бүләбез. бүлендек  2, калдык 1
  2-не 2-гә бүләбез. бүлендек  1, калдык 0
  1-зе 2-гә бүләбез. бүлендек  0, калдык 1
Бүлендек нульгә тигез, бүлү тәмамлана. Хәзер бөтен калдыкларны астан өскә карый язып <math>101100_2</math> санын табабыз.
=== Икеле исәпләү системасынан сигезле һәм уналтылы исәпләү системасына күчү ===
Бу типтагы операцияләр өчен гадиләштерелгән алгоритм бар.
Сигезле исәпләү системасы өчен — күчерелә торган санны 2-нең дәрәҗәсенә тигез булган цифрлар санына бүлгәлибез (2, санны күчерергә кирәк булган системаның нигезе килеп чыксын өчен күтәрергә кирәк булган дәрәҗәгә күтәрелә (2³=8), Бу очракта 3, ягъни триада). Триадаларны триадалар  таблицасы буенча үзгәртәбез:
 000 0 100 4
 001 1 101 5
 010 2 110 6
 011 3 111 7
Уналтылы исәпләү системасы өчен — күчерелә торган санны 2-нең дәрәҗәсенә тигез булган цифрлар санына бүлгәлибез (2, санны күчерергә кирәк булган системаның нигезе килеп чыксын өчен күтәрергә кирәк булган дәрәҗәгә күтәрелә (2<sup>4</sup>=16), Бу очракта 4, ягъни тетрад). Тетрадларны тетрадлар таблицасы буенча үзгәртәбез:
 0000 0 0100 4 1000 8 1100 C 
 0001 1 0101 5 1001 9 1101 D
 0010 2 0110 6 1010 A 1110 E
 0011 3 0111 7 1011 B 1111 F
Мисал:
 үзгәртәбез 101100<sub>2</sub>
 сигезле — 101 100 → 54<sub>8</sub>
 уналтылы — 0010 1100 → 2C<sub>16</sub>
=== Сигезле һәм уналтылы исәпләү системасыннан икеле исәпләү системасына күчерү ===
Бу типтагы операцияләр өчен гадиләштерелгән алгоритм бар.
Сигезле система өчен — таблица буенча триплетларга үзгәртәбез
 0 000 4 100
 1 001 5 101
 2 010 6 110
 3 011 7 111

Уналтылы система өчен — таблица буенча квартетларга үзгәртәбез
 0 0000 4 0100 8 1000 C 1100 
 1 0001 5 0101 9 1001 D 1101
 2 0010 6 0110 A 1010 E 1110
 3 0011 7 0111 B 1011 F 1111
Мисал:
 үзгәртәбез
 54<sub>8</sub> → 101 100
 2C<sub>16</sub> → 0010 1100
=== Икеле исәпләү системасыннан сигезле һәм уналтылы исәпләү системасына күчерү ===
Вакланма өлешен икеле исәпләү системасыннан сигезле һәм уналтылы исәпләү системасына күчерү санның бөтен өлөшен күчергәндәге кебек тормышка ашырыла, бары тик шул аерма белән, октаваларга һәм тетрадларга бүлү унарлы өтердән уңга карый бара, тулмаган разрядлар уңнан нульләр белән тутырыла. Мәсәлән, югарыда каралган 1100,011<sub>2</sub> саны 14,3<sub>8</sub> яки C,6<sub>16</sub> күренешендә булачак.
=== Ирекле исәпләү системасынан унарлы исәпләү системасына күчерү ===
Икеле 1100,011<sub>2</sub> санын унарлы исәпләү системасына күчерү мисалын карыйк. Бу санның бөтен өлеше 12-гә тигез (югарыда карагыз), ә вакланма өлөшен күчерүне җентекләп карыйк:
: <math> 0,011 = 0 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2} + 1 \cdot 2^{-3} = 0 + 0,25 + 0,125 = 0,375.</math>
Шулай итеп, 1100,011<sub>2</sub> = 12,375<sub>10</sub>.
Теләсә нинди исәпләү системасыннан күчерү тап шулай ук тормышка ашырыла, бары тик «2» урынына системаның нигезе куела.
Күчерү уңайлы булсын өчен, санның бөтен һәм вакланма өлешләрен аерым күчерәләр, ә нәтиҗәне азак берләштерәләр.
=== Унарлы исәпләү системасыннан ирекле системага күчү ===
Санның вакланма өлешен башка исәпләү системаларына күчерү өчен аның бөтен өлөшен нульгә әйләндерергә һәм килеп чыккан санны күчерергә кирәк булган системаның нигезенә тапкырлый башларга кирәк. Әгәр кабатлау нәтиҗәсендә яңадан бөтен өлөш барлыкка килсә, килеп чыккан бөтен өлешнең кыйммәтен истә калдырып (язып куеп), аны янә нульгә әйләндерергә кирәк. Вакланма өлеше тулысынча нульгә әйләнгәч операция тәмамлана. Түбәндә 103,625<sub>10</sub> санын икеле исәпләү системасына күчерү мисалы китерелә.

Бөтен өлешен югарыда тасвирланган кагыйдә буенча күчереп табабыз 103<sub>10</sub> = 1100111<sub>2</sub>.
 0,625-не 2-гә тапкырлыйбыз. Вакланма өлеше 0,250. Бөтен өлеше 1.
 0,250-не 2-гә тапкырлыйбыз. Вакланма өлеше 0,500. Бөтен өлеше 0.
 0,500-не 2-гә тапкырлыйбыз. Вакланма өлеше 0,000. Бөтен өлеше 1.
Шулай итеп, өстән аска 101<sub>2</sub> санын алабыз. Шуңа күрә 103,625<sub>10</sub> = 1100111,101<sub>2</sub>

Нәкъ шулай ук теләсә нинди нигезле исәпләү системасына күчерү башкарыла. 

Баштан әйтеп китергә кирәк, Бу мисал махсус сайланган, гомуми очракта санның вакланма өлешен унарлы исәпләү системасыннан башка исәпләү системаларына күчерүне бик сирәк очракта тәмамлауга ирешеп була, шуңа күрә, күпчелек очракта, күчерүне берни кадәр хата белән башкарырга мөмкин. Өтердән соң тамгалар ни кадәр күбрәк булса, шул кадәр күчерү нәтиҗәсенең якынча кыйммәте дөрескә якынырак була. Әгәр, мәсәлән, 0,626 санын икеле кодка күчереп караганда, бу сүзләрнең дөреслегенә җиңел ышанып була.
== Вариациялар һәм гомумиләштерүләр ==
=== Рациональ саннарның язылышы ===
<math>x</math> [[рациональ сан]]ы <math>b</math>-арлы исәпләү системасында <math>b</math> санының дәрәҗәләренең сызыкча комбинациясе (гомумән алганда, чиксез) рәвешендә күрсәтелә:
: <math>x = (a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_1 a_0 , c_1 c_2 \ldots)_b = \sum_{k=0}^{n-1} a_k b^k + \sum_{k=1}^{\infty} c_k b^{-k}</math>
монда <math>a_k</math> — [[бөтен өлеш|бөтен өлешнең]] цифрлары ([[Унарлы аергыч|аергычка]] кадәр), <math>c_k</math> — [[вакланма өлеш|вакланма өлешенең]] цифрлары (аергычтан соң), <math>n</math> — бөтен өлөшенең разрядлары саны.
<math>b</math>-арлы исәпләү системасында бары тик <math>\frac{q}{b^m}</math>, монда <math>m</math> һәм <math>q</math> — бөтен саннар, күренешендә күрсәтергә мөмкин булган рациональ саннарның гына ахыргы язуы бар:
: <math>\frac{q}{b^m} = (a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_1 a_0 , c_1 c_2 \ldots c_{-m})_b = \sum_{k=0}^{n-1} a_k b^k + \sum_{k=1}^{m} c_k b^{-k},</math>
монда <math>(a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_1 a_0)_b</math> һәм <math>(c_1 c_2 \ldots c_{-m})_b</math>  <math>q</math>-ны <math>b^m</math>-нә бүлгәндә ярашлы рәвештә [[калдыклы бүлү|бүлендекнең һәм калдыкның]] <math>b</math>-арлы язылышы булып торалар.

<math>\frac{q}{b^m}</math> күренешендә күрсәтеп булмаган рациональ саннар [[периодлы вакланма|периодлы вакланмалар]] рәвешендә язылалар.
=== Симметрик исәпләү системалары ===
'''Симметрик (тигезләшкән, тамга разрядлы) исәпләү системасы''' шуның белән аерыла, цифрларны <math>\{0, 1, \ldots, b-1\}</math> күплегеннән түгел, ә <math>\left\{0-\left(\tfrac{b-1}{2}\right),1 -\left(\tfrac{b-1}{2}\right), \ldots,(b-1)-\left(\tfrac{b-1}{2}\right)\right\}</math> күплегеннән алып кулланалар. Цифрлар бөтен булсын өчен, <math>b</math> так булырга тиеш. Симметрик исәпләү системаларында санның тамгасы өчен өстәлмә тамгалаулар кирәкми.<ref>{{книга |автор=С. Б. Гашков |заглавие=Системы счисления и их применение |серия=[[Библиотека «Математическое просвещение»]] |выпуск=29 |год=2004 |isbn=5-94057-146-8 |страниц=52 |ссылка=http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php#book-29}}</ref> Моннан тыш, симметрик системаларда исәпләүләр шуның белән уңайлы, түгәрәкләү өчен аерым кагыйдәләр кирәкми — ул артык разрядларны гади алып ташлауга кайтып кала. Бу исәпләүләрнең систематик хаталарын катгый киметә.
Ешрак симметрик [[өчәрле исәпләү системасы]] <math>\{-1,0,1\}</math> цифрлары белән кулланыла. Ул [[өчәрле логика|өчәрле логикада]] кулланыла һәм «[[Сетунь (компьютер)|Сетунь]]» исәпләү  машинасында техник тормышка ашырыла.
=== Тискәре нигезләр ===
{{main|Нега-позицион исәпләү системасы}}
[[Нега-позицион исәпләү системасы|Нега-позицион]] дип аталган, нигезләре тискәре позицион системалар була:
* '''-2''' — [[нега-икеле исәпләү системасы]]
* '''-3''' — нега-өчәрле исәпләү системасы
* '''-10''' — нега-унарлы исәпләү системасы
=== Бөтен сан булмаган нигезләр ===
Кайсыбердә шулай ук нигезләре бөтен сан булмаган позицион исәпләү системалары карыйлар: [[рациональ сан|рациональ]], [[иррациональ сан|иррациональ]], [[трансцендент сан|трансцендентлы]].
Мондый исәпләү системаларының мисаллары булып торалар:
* ''b'' = ⅓  булганда— рациональ вакланма нигезле исәпләү системасы, күчешнең өчәрле реверсивлы [[регистр]]ларында бөтен саннарга тапкырлау һәм бүлү гәмәлләрен башкарырга мөмкинлек бирә {{нет АИ|18|01|2010}},
* ''b'' = ½ булганда — рациональ вакланма нигезле исәпләү системасы{{нет АИ|18|01|2010}},
* ''b'' = [[алтын киселеш|φ = 1,61…]] булганда — «[[алтын киселеш|алтын киселешкә]]» тигез булган иррациональ нигезле [[Бергман, Джордж|Бергман]] исәпләү системасы.<ref>А. В. Никитин [http://andrejnikitin.narod.ru/matematika2.htm Система Бергмана].</ref>

=== Комплекслы нигезләр ===
Позицион исәпләү системасының нигезе шулай ук [[Комплекслы сан|комплекслы]] сан булырга мөмкин<ref name="Khmelnik1">{{статья |автор=Хмельник С. И. |заглавие=Специализированная ЦВМ для операций с комплексными числами |издание=Вопросы радиоэлектроники |том=XII |выпуск=2 |год=1964 |ссылка=http://lib.izdatelstwo.com/Papers2/s4.zip}}</ref><ref name="Knuth">{{cite journal |author=Knuth D. E. |title=An Imaginary Number System |journal=Communication of the ACM |volume=3 |issue=4 |year=1960 |pages=245—247 |doi=10.1145/367177.367233}}</ref>. Бу вакытта аларда цифрлар, турыдан-туры бу исәпләү системаларында күрсәтелгән саннар белән арифметик гәмәлләр башкарырга мөмкинлек бирү шартын кәнәгатьләндерүче ниндидер [[чикле күплек|чикле күплектән]] кыйммәтләр алалар.
Атап әйткәндә, комплекслы нигезле позицион исәпләү системалары арасында бары тик ике генә цифр 0 һәм 1 кулланылган икеле системаларны аерып карарга була.
; Мисаллар
Арлга таба позицион исәпләү системасын шундый күренештә язырбыз <math>\langle \rho,A \rangle</math>, монда <math>\rho</math> — исәпләү системасының нигезе, ә ''A'' — цифрлар күплеге. Атап әйткәндә, ''A'' күплеге шундый күренештә булырга мөмкин:
* <math>B_R = \{ 0, 1, 2,\dots, R-1 \},</math>
* <math>D_R = \{-r_1,-r_1+1,\dots, -1,0,1,\dots,r_2-1,r_2 \},</math> монда <math>r_1, r_2\geq 0</math> һәм <math>R =r_1+r_2+1</math>. <math>r_1=0</math> булганда <math>D_R</math> күплеге <math>B_R</math> күплегенә әйләнә.
Комплекслы нигезле позицион исәпләү системаларына мисал булып торалар (алга таба ''j'' — [[уйланма берәмлек]]):
* <math>\langle \rho=j\sqrt{R},B_R \rangle.</math><ref name="Knuth"/>
** Мисал: <math>\langle \rho=\pm j\sqrt{2},\{0,1\} \rangle;</math>
* <math>\langle \rho=\sqrt{2}e^{\pm j \pi / 2},B_2 \rangle.</math><ref name="Khmelnik1"/>
** Мисал: <math>\langle \rho=-1\pm j,\{0,1\} \rangle;</math>
* <math>\langle \rho=2e^{j \pi / 3}, \{0,1,e^{2j \pi / 3},e^{-2j \pi / 3}\} \rangle;</math><ref name="Khmelnik2"/>
* <math>\langle \rho=\sqrt{R},B_R \rangle,</math> монда <math>\varphi=\pm \arccos{(-\beta/2\sqrt{R})}</math>, <math>\beta<\min\{ R, 2\sqrt{R}\}</math> — бирелгән ''R'' өчен берничә кыйммәт кабул итә алган бөтен уңай сан;<ref name="Khmelnik3">{{статья |автор=Хмельник С. И. |заглавие=Позиционное кодирование комплексных чисел |издание=Вопросы радиоэлектроники |том=XII |выпуск=9 |год=1966 |ссылка=http://lib.izdatelstwo.com/Papers2/s5.zip}}</ref>
* <math>\langle\rho=-R, A_R^2 \rangle,</math> монда <math>A_R^2</math> күплеге <math>r_m=\alpha_m^1 + j\alpha_m^2</math> күренешендәге комплекслы саннардан тора, ә <math>\alpha_m \in B_R.</math> Мәсәлән: <math>\langle -2, \{0,1,j,1+j\} \rangle;</math><ref name="Khmelnik2">{{книга |автор=Хмельник С. И.|заглавие=Кодирование комплексных чисел и векторов |издание=Mathematics in Computers |место=Израиль |isbn=978-0-557-74692-7| год=2004 |ссылка=http://www.lulu.com/content/94846}}</ref>
* <math>\langle \rho=\rho_2^{ },\{0,1\} \rangle,</math> монда <math>\rho_2=\begin{cases}(-2)^{1/2} & \mbox{if}\ m\ \mbox{even},\\ j(-2)^{(m-1)/2m} & \mbox{if}\ m\ \mbox{odd}.\end{cases}</math> .<ref name="Khmelnik4">{{книга |автор=Khmelnik S.I. |заглавие=[http://worldwide.espacenet.com/publicationDetails/biblio?DB=EPODOC&adjacent=true&locale=en_EP&FT=D&date=20030814&CC=US&NR=2003154226A1&KC=A1 Method and system for processing complex numbers] |издание=Patent USA, US2003154226 (A1) |год=2001 }}</ref>
; Икеле комплекслы исәпләү системалары
Түбәндә икеле позицион исәпләү системаларының нигезләре санап кителгән һәм аларда 2, −2 һәм −1 саннарының язылышлары бирелгән:
* <math>\rho=2</math>: <math>2=(10)_{\rho}</math> (натураль нигезле исәпләү системасы);
* <math>\rho=-2</math>: <math>2=(110)_{\rho}</math>, <math>-2=(10)_{\rho}</math>, <math>-1=11_{\rho}</math> (нега-позицион исәпләү системасы);
* <math>\rho=-\rho_2</math>: <math>2=(10100)_{\rho}</math>, <math>-2=(100)_{\rho}</math>, <math>-1=101_{\rho}</math> (комплекслы нигезле исәпләү системасы);
* <math>\rho=j\sqrt{2}</math>: <math>2=(10100)_{\rho}</math>, <math>-2=(100)_{\rho}</math>, <math>-1=(101)_{\rho}</math> (комплекслы нигезле исәпләү системасы);
* <math>\rho=-1+j</math>: <math>2=(1100)_{\rho}</math>, <math>-2=(11100)_{\rho}</math>, <math>-1=(11101)_{\rho}</math> (комплекслы нигезле исәпләү системасы);
* <math>\rho=\frac{-1+j\sqrt{7}}2</math>: <math>2=(1010)_{\rho}</math>, <math>-2=(110)_{\rho}</math>, <math>-1=(111)_{\rho}</math> (комплекслы нигезле исәпләү системасы).
=== Күрсәткечле булмаган исәпләү системалары ===
[[Күрсәткечле функция|Күрсәткечле]] исәпләү системалары [[Күрһәткечле функция|күрсәткечле бәйләнешле]] позицион исәпләү системаларының аерым очраклары булып торалар. Күрсәткечле бәйләнеш урынына башка бәйләнешләр булырга мөмкин. Мәсәлән, [[гипероператор]]лы позицион исәпләү системасы<br>
: <math>{\operatorname{hyper4} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 4, b) = a ^ {(4)} b = a \uparrow\uparrow b = \atop {\ }} \quad {\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}  \atop {b\mbox{ times}}} \quad {=a\to b\to 2 \atop {\ } }</math>
шул ук сандагы тамгалар белән саннарның зур диапазонын язарга мөмкинлек бирә.
== Искәрмәләр ==
{{Искәрмәләр|colwidth=30em}}
== Сылтамалар ==
* {{статья |автор=И. Яглом |заглавие=Системы счисления |издание=[[Квант (журнал)|Квант]] |номер=6 |год=1970 |страницы=2-10 |ссылка=http://kvant.mccme.ru/1970/06/sistemy_schisleniya.htm}}
* {{книга |часть=[http://comp-science.narod.ru/Progr/Syst_Sch.html Позиционные системы счисления. Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую. Арифметические операции с числами в позиционных системах счисления] |заглавие=Введение в информатику. Лабораторные работы |ответственный=Авт.-сост. А. П. Шестаков |издательство=Перм. ун-т. |место=Пермь |год=1999}}
* {{книга |автор=Поспелов Д. А.|заглавие=Арифметические основы вычислительных машин дискретного действия |издание=Высшая школа |год=1970}}
[[Төркем:Математика]]
[[Төркем:Саннар]]
[[Төркем:Исәпләү системалары]]