Интеграл исемле битнең чыганагын карау

[[Файл:Riemann.gif|300px|мини|уңда|Риман интегралы - график астындагы кечкенә турыпочмаклар суммасына тигез]]
[[Файл:Integral example.svg|300px|мини|уңда|Билгеле интеграл фигура мәйданына тигез]]
'''Интеграл''' - [[интеграль хисап]]ның төп төшенчәсе, функцияләр, саннар суммасына туры килә, билгеле интеграл функциянең графигы һәм абсцисс күчәре арасындагы [[мәйдан]]га тигез, димәк кәкре сызыклы [[трапеция]] мәйданына тигез.

Ике үзгәрмә зурлык буенча [[интеграл табу]] очрагында, интеграл - функция графигының өслеге астындагы күләмгә тигез.

== Риман интегралы ==

'''Риман интегралы''' - интеграл табу иң гади ысулы, Риман суммасы нигезендәге алым, ягъни график астындагы кечкенә [[турыпочмак]]лар суммасына тигез.

:<math>S = \sum_i f(x_i) \Delta x_i.</math>

Интеграль сумма: <math>\sigma _x  = \sum\limits_{i = 1}^n {f(\xi _i )\Delta x_i }</math>

Бүлемнәр адымы <math>\delta R = \max (\Delta x_i )</math> нульгә омтылган очракта, интеграль суммалар бертигез санга омтыла, ул интеграл дип йөртелә:
:<math>\int\limits_a^b f(x)\,dx  = \lim \limits_{\delta R \to 0} \sigma _x </math>

Кисемтәләр кечкенә бүлемнәрен ясап, кечкенә турыпочмаклар мәйданнары  суммасы  <math>S = \sum_i f(x_i) \Delta x_i.</math>, чик очрагында (<math>\Delta x_i</math>  нульга омтылса), интеграль сумма интегралга омтыла:
: <math>S = \sum_i f(x_i) \Delta x_i \rightarrow \int f(x) dx.</math>

== Ньютон-Лейбниц тигезләмәсе ==

[[Ньютон Исаак|Ньютон]]-Лейбниц [[тигезләмә]]се буенча [[баштагы функция]]ләр аермасы билгеле интегралга тигез:

<math>\int\limits_a^b f\left( x\right) dx=F\left( x\right) \vline ^{b}_{a}=F\left( b\right) -F\left( a\right)</math>

== Кайбер билгесез интеграллар ==
===Дәрәҗәле функцияләр ===
:<math>\int k\,dx = kx + C</math>
:<math>\int x^a\,dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C \qquad\text{(for } a\neq -1\text{)}\,\!</math> 
:<math>\int (ax + b)^n \, dx= \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n + 1)} + C \qquad\text{(for } n\neq -1\text{)}\,\!</math>
:<math>\int {1 \over x}\,dx = \ln \left|x \right| + C</math>
::гомуми очракта,<ref>"[http://golem.ph.utexas.edu/category/2012/03/reader_survey_logx_c.html Reader Survey: log|''x''| + ''C'']", Tom Leinster, ''The ''n''-category Café'', March 19, 2012</ref>
::<math>\int {1 \over x}\,dx = \begin{cases}\ln \left|x \right| + C^- & x < 0\\
\ln \left|x \right| + C^+ & x > 0
\end{cases}</math>
:<math>\int\frac{c}{ax + b} \, dx= \frac{c}{a}\ln\left|ax + b\right| + C</math>

===Экспонент функцияләр ===
 
:<math>\int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C</math>
:<math>\int f'(x)e^{f(x)}\,dx = e^{f(x)} + C</math>
:<math>\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C</math>

===Логарифмик функцияләр ===
 
:<math>\int \ln x\,dx = x \ln x - x + C</math>
:<math>\int \log_a x\,dx = x\log_a x - \frac{x}{\ln a} + C</math>

===Тригонометрик функцияләр ===
 
:<math>\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C</math>
:<math>\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C</math>
:<math>\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C = \ln{\left| \sec{x} \right|} + C</math>
:<math>\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C</math>
:<math>\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C</math>

:<math>\int \csc{x} \, dx = \ln{\left| \csc{x} - \cot{x}\right|} + C</math>
:<math>\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C</math>
:<math>\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C</math>
:<math>\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C</math>
:<math>\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = -\csc{x} + C</math>
:<math>\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}\left(x - \frac{\sin 2x}{2} \right) + C = \frac{1}{2}(x - \sin x\cos x ) + C </math>
:<math>\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}\left(x + \frac{\sin 2x}{2} \right) + C = \frac{1}{2}(x + \sin x\cos x ) + C </math>
:<math>\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C</math>

:<math>\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx</math>
:<math>\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx</math>

===Кире тригонометрик функцияләр ===

:<math>\int \arcsin{x} \, dx = x \arcsin{x} + \sqrt{1 - x^2} + C , \text{ for } \vert x \vert \le +1 </math>

:<math>\int \arccos{x} \, dx = x \arccos{x} - \sqrt{1 - x^2} + C , \text{ for } \vert x \vert \le +1 </math>

:<math>\int \arctan{x} \, dx = x \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln { \vert 1 + x^2 \vert } + C , \text{ for all real } x </math>

:<math>\int \arccot{x} \, dx = x \arccot{x} + \frac{1}{2} \ln { \vert 1 + x^2 \vert } + C , \text{ for all real } x </math>

:<math>\int \arcsec{x} \, dx = x \arcsec{x} - \ln \vert x \, ( 1 + \sqrt{ 1 - x^{-2} } \, ) \vert + C , \text{ for } \vert x \vert \ge +1 </math>

:<math>\int \arccsc{x} \, dx = x \arccsc{x} + \ln \vert x \, ( 1 + \sqrt{ 1 - x^{-2} } \, ) \vert + C , \text{ for } \vert x \vert \ge +1 </math>

=== Һиперболик функцияләр ===
 
:<math>\int \sinh x \, dx = \cosh x + C</math>
:<math>\int \cosh x \, dx = \sinh x + C</math>
:<math>\int \tanh x \, dx = \ln \cosh x + C</math>
:<math>\int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C , \text{ for } x \neq 0 </math>
:<math>\int \operatorname{sech}\,x \, dx = \arctan\,(\sinh x) + C</math>
:<math>\int \operatorname{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C , \text{ for } x \neq 0 </math>

===Кире һиперболик функцияләр ===

:<math>\int \operatorname{arsinh} \, x \, dx = x \, \operatorname{arsinh} \, x - \sqrt{ x^2 + 1 } + C , \text{ for all real } x </math>

:<math>\int \operatorname{arcosh} \, x \, dx = x \, \operatorname{arcosh} \, x - \sqrt{ x^2 - 1 } + C , \text{ for } x \ge 1 </math>

:<math>\int \operatorname{artanh} \, x \, dx = x \, \operatorname{artanh} \, x + \frac{\ln\left(\,1-x^2\right)}{2} + C , \text{ for } \vert x \vert < 1 </math>

:<math>\int \operatorname{arcoth} \, x \, dx = x \, \operatorname{arcoth} \, x + \frac{\ln\left(x^2-1\right)}{2} + C , \text{ for } \vert x \vert > 1 </math>

:<math>\int \operatorname{arsech} \, x \, dx = x \, \operatorname{arsech} \, x + \arcsin x + C , \text{ for } 0 < x \le 1 </math>

:<math>\int \operatorname{arcsch} \, x \, dx = x \, \operatorname{arcsch} \, x + \vert \operatorname{arsinh} \, x \vert + C , \text{ for } x \neq 0 </math>

===Катлаулы функцияләр ===
:<math>\int \cos ax\, e^{bx}\, dx = \frac{e^{bx}}{a^2+b^2}\left( a\sin ax + b\cos ax \right) + C</math>
:<math>\int \sin ax\, e^{bx}\, dx = \frac{e^{bx}}{a^2+b^2}\left( b\sin ax - a\cos ax \right) + C</math>
:<math>\int \cos ax\, \cosh bx\, dx = \frac{1}{a^2+b^2}\left( a\sin ax\, \cosh bx+ b\cos ax\, \sinh bx \right) + C</math>
:<math>\int \sin ax\, \cosh bx\, dx = \frac{1}{a^2+b^2}\left( b\sin ax\, \sinh bx- a\cos ax\, \cosh bx \right) + C</math>

== Әдәбият ==
* ''В. А. Гусев'', ''А. Г. Мордкович'' «Математика»
* ''Г. М. Фихтенгольц'' «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1
* [http://integrals.wolfram.com Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн] с помощью системы 
* ''В. М. Бородихин'', [http://ciu.nstu.ru/kaf/vm/a/file_get/123265?nomenu=1 Высшая математика], учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1

[[Төркем:Математика төшенчәләре]]
[[Төркем:Интеграль хисап]]